Главная > Физика > Теория спиноров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

140. Параллелизм в пространстве E2.

Единичному бивектору, определенному двумя единичными взаимно перпендикулярными векторами А, А, можно отнести в эвклидовом пространстве полуспиноров данного рода, обладающем фундаментальной формой Ф или паратактическую конгруэнцию единичных биполуспиноров в этой конгруэнции существует один и только один биполуспинор, у которого первый полуспинор задан. Единичным полуспинором мы называем такой, который дает фундаментальной форме Ф численное значение, равное единице.

Заметим прежде всего, что матрица в которой ни один из множителей не равен нулю, может быть равна нулю только в том случае, если вектор X изотропный и полуспинор также изотропный (длины 0). Первое условие уже было доказано выше; предположим, что X приведен к вектору из равенства вытекает тогда равенство нулю всех составляющих содержащих индекс 1, и, следовательно, равенство нулю выражения то есть фундаментальной фомы .

Пусть у — единичный полуспинор. Определим такой полуспинор чтобы

или

Первое уравнение дает подставляя во второе, получаем тождество, так как Сделанное выше

замечание показывает тогда, что и являются изотропными полуспинорами, то есть — единичный полуспинор, перпендикулярный к

Если воспользоваться языком проективной геометрии, то три пространства векторов и полуспиноров можно трактовать как семмерные пространства; прямая первого пространства определяет в каждом из двух других паратактическую конгруэнцию прямых, обладающих тем свойством, что через каждую точку, не расположенную на фундаментальной квадрике, проходит одна и только одна прямая.

Зададим теперь единичный вектор ; он позволит нам определить в пространстве полуспиноров эквиполлентность биполуспиноров. В самом деле, возьмем некоторый единичный биполуспинор равенства

в которых являются заданными, дают определенное решение для : это зависит от симметричной роли векторов и полуспиноров. Будем говорить, что два единичные биполуспинора эквиполлентны, если для каждого из них можно найти один и тот же вектор Л. Употребляя теперь язык проективной геометрии, мы можем сказать, что задание точки в одном из. трех пространств (не лежащей на фундаментальной квадрике) определяет в каждом из остальных пространств параллелизм прямых (не лежащих на фундаментальной квадрике и не касающихся ее), при котором через данную точку проходит одна и только одна прямая, параллельная данной, и. две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление