Главная > Физика > Теория спиноров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

IV. Уравнения Дирака

157. Ковариантный вектор

Рассмотрим в пространстве частного принципа относительности, отнесенном к системе координат функцию точки дифференциал является скалярным инвариантом при каждом преобразовании Лоренца; но

дифференциалы преобразуются как контравариатетные составляющие вектора; следовательно, четыре оператора можно рассматривать как ковариантные составляющие вектора; контравариантные составляющие этого вектора имеют вид

Обозначим через матрицу, соответствующую этому вектору:

Пользуясь этой символикой, можно представить уравнения Дирака для электрона в электромагнитном поле в следующем виде. Вводим четыре волновых функции, которые являются составляющими спинора , представляющего собой функцию точки пусть V обозначает матрицу, соответствующую векторному потенциалу, К—матрицу, выведенную в п. 126:

Уравнения Дирака могут быть объединены в одном уравнении:

где буквы имеют хорошо известные из физики значения.

Выписыва» каждое из четырех уравнений, имеем

158. Дивергенция вектора тока.

Нетрудно доказать, что если спинор удовлетворяет уравнениям Днрака, то дивергенция вектора (26) равна нулю. Этот вектор в квантовой механике играет роль вектора тока. В самом деле, скалярное произведение произвольного вещественного вектора X на вектор тока равно вещественной величине Дивергенция вектора тока равна сумме двух комплексно сопряженных величин, из которых одна получается дифференцированием составляющих другая — дифференцированием составляющих Первая величина есть не

что иное, как которая на основании уравнений Дирака равна

но величина вещественная, поскольку вектор V вещественен; то же самое справедливо относительно величины которая равна скаляру (30):

следовательно, мы получаем для величины чисто мнимое значение; искомая дивергенция, будучи руммой двух сопряженных чисто мнимых величин, равна, таким образом, нулю.

Уравнения Дирака инвариантны при каждом собственном преобразовании (вращении или отражении) группы Лоренца, так как при вещестаенной пространственной симметрии А обе матрицы с 1 столбцом и 4 строками преобразуются одинаково, первая в вторая в

159. Примечание.

В пространстве с нечетным числом измерений не существует систем уравнений, аналогичных уравнениям Днрака и инвариантных при движении и отражении: это зависит от того, что спинор (или ) не эквивалентен спинору относительно отражений. Но в пространстве с четным числом измерений уравнения Дирака обобщаются непосредственно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление