Главная > Физика > Курс теоретической механики для физиков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 69. Упругие волны

Изменение положения частицы упругого тела со временем, связано, вообще говоря, с изменением ее температуры. Однако распространение колебаний частиц вдоль тела (т. е. упругие волны) происходит достаточно быстро по сравнению с передачей тепла от частицы к частице. Поэтому эти волны можно считать изэнтропическим процессом. Тогда изменение температуры данной частицы тела будет определенным образом связано с изменением деформации этой частицы, что в свою очередь скажется на напряжениях.

Вычислим тензор напряжений, учитывая изэнтропичность упругой волны. С этой целью используем (67.30), т. е. выражение для

энтропии, как функции деформаций и температуры, и положим в нем Тогда найдем изменение температуры

и тензор напряжений с учетом этого изменения (см. (67.27)):

Полученный тензор отличается от тензора напряжений (67.21) тем, что вместо изотермического модуля упругости к здесь появился адиабатический модуль

(при этом модуль сдвига не изменился).

Уравнение для смещений в упругой волне в отсутствии объемных сил получим аналогично уравнению (67.31), используя (69.2) и (67.6). В результате найдем, что

или

где

Теперь покажем, что уравнение движения (69.4) (или (69.5)) может быть сведено к системе двух уравнений, из которых одно описывает распространение продольной упругой волны со скоростью , а другое — распространение поперечной упругой волны со скоростью Согласно теореме Гельмгольца о представлении векторного поля в виде суммы потенциального и соленоидального нолей (см. (60.12) — (60.14)), положим

где

а

Подставляя (69.7) в (69.5) и учитывая (69.8), (69.9), а также то, что

найдем исходное уравнение в виде

Исключим отсюда . С этой целью применим к членам уравнения (69.10) операцию имея в виду (69.9) и то, что Тогда получим, что

при

так как — потенциальный вектор. Если же во всем пространстве вектора равны нулю, то и сам вектор должен равняться нулю. Следовательно, потенциальная часть смещения — вектор — подчинен волновому уравнению

которое описывает волны, распространяющиеся со скоростью эти волны являются волнами сжатий и растяжений, поскольку

Применяя к обеим частям (69.10) операцию учитывая (69.8) и то, что исключим из уравнения вектор их и найдем, что

Но для соленоидального вектора

Поэтому из (69.12) получим

причем согласно (69.9)

Следовательно, вектор подчиняется уравнению

которое описывает волны, распространяющиеся со скоростью Эти волны являются волнами сдвига, поскольку смещения частиц в такой волне представляют собой повороты , не сопровождающиеся изменением объема частиц

Наконец, рассматривая плоские монохроматические волны смещений

подставляя эти смещения в соответствующие волновые уравнения: и условия (69.8), (69.9), получим для первой волны

и для второй волны

Отсюда ясно, что волны сжатия и расширения являются продольными, поскольку к а волны сдвига — поперечными, так как

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление