Главная > Физика > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

126. Параллельные силы.

Фигура равновесия будет, также плоской, когда все силы, кроме двух крайних, параллельны. В этом случае проекции натяжений на перпендикуляр к общему направлению сил равны.

Первая часть этого предположения докажется так же, как и для сходящихся сил. Для доказательства второй части - замечаем, что так как силы находятся в равновесии, то сумма их проекций на направление перпендикулярное силам, равна нулю. Но так как проекция силы равна нулю, то отсюда следует, что проекция равна проекции и точно так же равна проекции

Рис. 83.

Допустим, например, что оба конца многоугольника подвешены к двум неподвижным точкам и что силами, действующими на промежуточные вершины, являются веса. Тогда многоугольник будет находиться в вертикальной плоскости, проходящей через две неподвижные точки. Допустим, кроме того, что имеется горизонтальное звено натяжение которого мы обозначим через Натяжения следующих звеньев будут а их углы наклона к горизонту обозначим через На точки действуют веса Для построения в рассматриваемом случае многоугольника сил для части веревочного многоугольника (рис. 83) необходимо провести через некоторую точку А в направлении вектор равный и параллельный натяжению , далее — векторы равные и параллельные силам Точки находятся на одной вертикали, а диагонали параллельны сторонам и равны натяжениям Имеем, следовательно:

Если предположить, что число вершин неограниченно возрастает, причем каждая сторона стремится к нулю, то многоугольник

превратится в такую кривую, что, обозначая через а угол наклона касательной в точке М к горизонту, через Т — натяжение в этой через Р — вес дуги отсчитываемой от наинизшей точки где натяжение равно мы сможем написать

Например, если вообразить однородную тяжелую нить, находящуюся в равновесии, то вес нити от наинизшей точки до точки М пропорционален дуге длину которой обозначим через . Следовательно, для кривой равновесия (цепной линии)

(а — постоянная). Ниже мы дадим уравнение этой кривой в конечной форме (п. 139).

Если тяжелая нить не однородна, но ее линейная плотность (как она определена в п. 114) есть известная функция дуги отсчитываемой от то

где а, как и раньше, — постоянная.

Висячие мосты. Будем предполагать, что подвесные стержни вертикальны, находятся на одинаковых расстояниях друг от друга и одинаково нагружены. Мы будем пренебрегать весом этих стержней и каната. Будем, наконец, предполагать, что канат симметричен относительно вертикальной плоскости, перпендикулярной к его собственной плоскости, и что он абсолютно гибок и нерастяжим. Примем вертикальную плоскость, содержащую канат, за плоскость чертежа, прямую ее пересечения с плоскостью симметрии за ось у и прямую ее пересечения с плоскостью моста, которая предполагается горизонтальной, за ось х. Будем предполагать число стержней четным, т. е. что в середине многоугольника имеется горизонтальное звено (рис. 83). Обозначим через а расстояние между стержнями и через координаты вершины М. Координаты вершины будут Координаты остальных вершин могут быть подсчитаны последовательно по формулам

в которых равен так как веса равны одному и тому же весу Таким путем найдем:

Это последнее уравнение может быть непосредственно получено, если заметить, что внешние силы, приложенные к части образуют систему векторов, эквивалентных нулю, вследствие чего сумма их моментов относительно точки равна нулю.

В этих выражениях имеется еще неизвестное натяжение Оно может быть определено, если известна точка подвеса последней вершины Пусть — высота этой точки; тогда

что и определяет 70. Вершины многоугольника находятся на параболе с вертикальной осью. В самом деле, если в равенствах

изменять непрерывным образом, то точка опишет параболу с вертикальной осью и вершины многоугольника будут точками этой параболы, соответствующими целым, значениям Легко, кроме того, показать, что звенья многоугольника касаются в своих серединах другой параболы с вертикальной осью.

Если число стержней будет очень большим, а звенья очень малыми, то многоугольник можно будет отождествить с кривой, которая, согласно вышеизложенному, будет обязательно параболой. В этом можно также убедиться, если заметить, что тангенс угла наклона звена пропорционален абсциссе его середины. Если многоугольник отождествляется с кривой, то угловой коэффициент касательной в какой-нибудь точке этой кривой пропорционален абсциссе этой точки, что является характерным свойством параболы с вертикальной осью.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление