Главная > Физика > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

150. Рефракция.

Покажем вкратце, что этот же интеграл встречается в общей задаче рефракции. Этот факт, по крайней мере в наиболее простых случаях, был отмечен уже Мопертюи, Иваном Бернулли и Эйлером. Лаплас даже рассматривал с этой точки зрения двойную рефракцию (Memoires de l’lnstitut, 1809).

Когда световой луч переходит из пустоты в однородную среду, (рис. 102), ограниченную произвольной поверхностью то он подчиняется двум следующим законам:

1°. Падающий луч преломленный луч и нормаль к поверхности S находятся в одной плоскости.

Рис. 102.

2°. Справедливо соотношение

где — угол — угол — постоянная, называемая показателем преломления среды относительно пустоты или абсолютным показателем преломления.

Пусть — Две однородные среды с абсолютными показателями преломления разделенные поверхностью Если световой луч переходит из первой среды во вторую, то первый закон сохраняется и

Напомнив эти законы, переходим к следующей задаче.

Пусть А и — две заданные точки по одну и другую стороны от произвольная точка на этой поверхности. Каково должно быть положение точки Р, чтобы сумма

была минимумом? Покажем, что минимум получится тогда, когда две прямые и удовлетворяют закону преломления при переходе из среды в среду . В самом деле, если обозначить через с координаты точки А, через - координаты точки и через х, у, z - координаты точки Р, то расстояния и будут соответственно иметь значения

Сумма а будет функцией двух независимых переменных х и у, так как есть функция от и у, определяемая уравнением поверхности Для того чтобы найти значения х и у, обращающие а в минимум, необходимо приравнять нулю частные производные от а по х и у, что приводит к двум уравнениям

которые вместе с уравнением поверхности определяют координаты точки Р.

Определив таким образом эту точку, сделаем замену осей координат: примем точку Р за начало (рис. 102), за ось примем нормаль в сторону точки А и за плоскость плоскость, содержащую А, так что координата точки А будет равна нулю, а координаты а и с будут положительны. Величины х, у, z, будут тогда для точки Р равны нулю и полученные уравнения примут вид

Второе уравнение показывает, что точка также лежит в плоскости что выражает первый закон преломления. Первое уравнение показывает, что «1 отрицательно и, если через и обозначить углы, образуемые отрезками и с нормалью то из этого уравнения получим

так как равны Это — второй закон преломления. Таким образом, искомый минимум получается вдоль пути, по которому луч идет от А к

Вообразим теперь несколько поверхностей разделяющих однородные среды. Пусть над находится среда с абсолютным показателем преломления между — среда с показателем между — среда с показателем , наконец под — среда с показателем пр. Возьмем в первой среде точку А, в последней среде точку В и рассмотрим мивгвугольник с вершинами на каждой из поверхностей,

идущий от точки А к точке В (рис. 103). Если искать, каким должен быть этот многоугольник для того, чтобы сумма

была минимумом, то согласно предыдущему получится, что он должен быть тем путем, по которому идет световой луч от А к В, следуя законам преломления.

Допустим, наконец, что число поверхностей неограниченно увеличивается и притом так, что стороны многоугольника, так же как и разности стремятся к нулю. Тогда совокупность рассмотренных сред превратится в непрерывную среду, в которой абсолютный показатель преломления будет непрерывной функцией координат.

Многоугольник, по которому следует световой луч, превратится в кривую, а сумма а станет интегралом

Рис. 103.

Таким образом, путь светового луча из точки А в точку В совпадает с кривой, которая обращает интеграл в минимум и для которой мы составили дифференциальные уравнения. По этому вопросу можно указать на статью О. Бонне (Nouvelles Annales de MatMniatiques, 1887). Эти же кривые были исследованы Викером (Comptes Rendus, т. CVIII, стр. 330). Наиболее существенные их свойства были даны еще Эклером в его «Теории брахистохрон».

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление