Главная > Физика > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

203. Теорема о моменте количества движения. Закон площадей.

Из уравнений движения можно вывести теорему, аналогичную предыдущей, для момента количества движения. Два уравнения

путем преобразований приводятся к одному

которое можно написать так:

т. е. производная по времена от момента количества движения относительно какой-нибудь оси (оси Oz) равна моменту равнодействующей всех сил, приложенных к точке, относительно той же оси.

Рис. 129.

Из этой теоремы получается первый интеграл уравнений движения в случае, когда т. е. когда равнодействующая сил, приложенных к материальной точке, находится все время в одной плоскости с осью Этот интеграл будет

Он имеет очень простую геометрическую интерпретацию, а именно: пусть (рис. 129) Р — проекция движущейся точки М на плоскость — начальное положение этой проекции. Рассмотрим сектор, ограниченный проекцией траектории и двумя радиусами и Обозначая через площадь этого сектора, отсчитываемую в направлении положительного вращения вокруг оси имеем

Следовательно, предыдущее уравнение принимает вид

откуда, интегрируя, находим

Другими словами, площадь S пропорциональна времена, в течение которого она была описана. В этом случае говорят, что для проекции движения на плоскость справедлива теорема площадей.

Постоянная площадей С, входящая в предыдущую формулу, равна отношению удвоенной площади, описанной радиусом-вектором к затраченному на это времени. Она определяется начальными условиями, а именно: она равна значению, принимаемому в начале движения величиной т. е. моменту начальной скорости относительно оси

Наоборот, если теорема площадей применима к проекции движения на плоскость относительно точки О, то сила находится в одной плоскости с осью так как уравнение после дифференцирования принимает вид

откуда

Пример. Центральные силы. Допустим, что равнодействующая сил, приложенных к точке, является центральной, т. е. ее направление все время проходит через неподвижную точку О. Если эту точку принять за начало, то момент относительно каждой из трех координатных осей будет равен нулю и теорема площадей будет применима к проекциям движения на каждую из трех координатных плоскостей. В этом случае траектория будет лежать в плоскости, проходящей через центр сил. В самом деле, имеем три уравнения:

Умножая их на x, у, z и складывая, найдем

т. е. уравнение плоскости, проходящей через точку О. Эта плоскость определяется начальной скоростью и точкой О.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление