Главная > Физика > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

212. Движения под действием силы, зависящей только от скорости.

Вертикальное движение снаряда в сопротивляющейся среде. До сих пор мы рассматривали примеры, в которых сила зависела только от положения точки. Перейдем теперь к кругу вопросов, в которых приходится рассматривать материальную точку, находящуюся под действием силы, зависящей только от скорости. Вообразим тяжелое тело, движущееся в такой сопротивляющейся среде, как воздух. Среда оказывает на каждый элемент поверхности тела некоторое действие и все эти действия складываются в одну силу и одну пару, приложенные к телу. В частном случае, когда снаряд является телом вращения и совершает поступательное движение, параллельное оси вращения, из соображений симметрии очевидно, что пара равна нулю и что равнодействующая всех действий среды на элементы поверхности тела является силой, направленной вдоль оси в сторону, противоположную движению. Такое явление можно наблюдать, например, когда шар или снаряд цилиндрическо-конической формы падает в неподвижном воздухе по вертикали.

Займемся этим частным случаем. Согласно теореме движения центра тяжести, которую мы докажем позднее, движение центра тяжести будет таким, как если бы в нем была сосредоточена вся масса тела и если бы в него были перенесены параллельно себе все приложенные к телу внешние силы. Следовательно, центр тяжести движется, как тяжелая точка, находящаяся под действием вертикальной силы направленной в сторону, противоположную скорости. Мы приходим таким образом к необходимости исследовать движение материальной точки под действием ее веса и силы сопротивления Опыт показывает, что при очень малых скоростях сопротивление почти пропорционально скорости Если скорость заметна, но все же меньше чем 200 м/сек, то сопротивление изменяется пропорционально При больших скоростях необходимо ввести члены с или с Нельзя, по-видимому, выразить закон сопротивления простой формулой. Сиаччи предложил формулу, совпадение которой с экспериментом заслуживает внимания. Эта формула была исследована Шапелем в Revue d’Artil-lerie (т. XLVIII, апрель — сентябрь 1896). Мы будем исходить из общего предположения, что сопротивление выражается в функции скорости формулой

где — положительная и возрастающая функция от V. Так как тело, если его предоставить самому себе без начальной скорости, будет падать, то сопротивление при должно быть меньше веса, и, следовательно, Допустим, кроме того, что для каждого положительного значения переменной функция имеет конечную, положительную и не равную нулю производную. Через X обозначим то значение V, при котором сопротивление равно весу, т. е.

1°. Нисходящее движение. Предположим, что движение является нисходящим (рис. 135). Примем за начало исходное положение тела, а за ось — вертикаль, направленную вниз. Уравнение движения будет

или

Так как то можно написать

откуда при помощи квадратуры найдем время в функции скорости:

Кроме того, заменяя в равенстве через получим

Рис. 135.

Таким образом, координата также определяется как функция скорости при помощи квадратуры

Формула (1) показывает, что имеет тот же знак, что и разность . Предположим, что начальная скорость, которая по условию положительна, меньше величины X. Тогда вначале производная — будет положительна и скорость с течением времени будет возрастать от своего начального значения Скорость будет увеличиваться до тех пор, пока разность будет оставаться положительной, т. е. пока не достигнет значения X. Покажем, что не может достигнуть значения X за конечный промежуток времени. В самом деле, в уравнении (2) подынтегральное выражение обращается в бесконечность при и притом таким образом, что (X) стремится к пределу Вследствие этого интеграл становится бесконечным при Уравнение (3) показывает, что х также становится бесконечным для этого значения скорости V. Отсюда вытекает, что скорость все время возрастает, но стремится к конечному пределу X.

Если начальная скорость больше X, то производная будет вначале отрицательной и скорость будет уменьшаться, приближаясь к X. Так же, как и выше, можно убедиться, что к х неограниченно возрастают, когда стремится к X.

Итак, какова бы ни была окорость в начальный момент, она будет стремиться к одному и тому же пределу X и по истечении достаточно большого промежутка времени движение станет почти равномерным со скоростью X. Отсюда следует, что если начальная скорость будет в точности равна X, то движение будет точно равномерным. Заметим, что дифференциальное уравнение (1) действительно допускает решение

Допустим, что в воздухе падают два одинаковых однородных шара, массы которых различны. При одинаковых скоростях сопротивление будет одинаковым; следовательно,

Обозначим через X и предельные скорости для обоих шаров, определяемые уравнениями Легко видеть, что если то . В самом деле, полагая в равенстве (4) получим:

Следовательно, меньше единицы и так как функция — возрастающая, то Это показывает, что большей массе соответствует большая предельная скорость, что находится в соответствии с опытом, показывающим, что более тяжелые тела падают в воздухе быстрее.

В качестве упражнения можно положить

При целом, квадратуры, которые нужно выполнить, касаются рациональных дробей. Если — число рациональное, то, полагая по-прежнему приведем задачу к рациональным дифференциалам.

Если, например, то уравнение (2) можно проинтегрировать, и мы получим

откуда находим первый интеграл

Здесь мы действительно приходим к общим результатам: имеет знак и когда неограниченно возрастает, показательная функция стремится к нулю и стремится к X. Заменяя через и интегрируя, найдем

Так как при должно быть то

Таким образом, для х как функции времени получаем

где скорость Х заменена ее значением

Покажем теперь, что если стремится к иулю, то уравнение, определяющее х, становится уравнением вида которое определяет свободное падение в пустоте. В самом деле, если в предыдущем равенстве

мы заменим его разложением в ряд, то получим и если то останется

2°. Восходящее движение. Направим теперь ось вертикально вверх (рис. 136). По-прежнему и уравнение движения будет

т. е.

откуда, как и раньше, выведем:

Рис. 136.

В этом случае всегда отрицательно и скорость все время уменьшается. Она обращается в нуль по истечении конечного промежутка времени

и наибольшая высота, которой достигнет движущаяся точка, будет

Если равно нулю, то получаются формулы движения в пустоте

Когда функция не равна нулю, то она положительна. Вследствие этого подынтегральное выражение в Н всегда меньше подынтегрального выражения в поэтому Н меньше чем и точка в воздухе поднимается на меньшую высоту, чем в пустоте. Точно так же Т меньше чем и точка затрачивает меньше времени для поднятия на наибольшую высоту, чем при движении в пустоте.

По истечении времени Т точка останавливается и затем начинает падать по закону, установленному выше для нисходящего движения при отсутствии начальной скорости. Когда точка проходит через свое начальное положение, она имеет скорость, меньшую чем . В самом деле, она поднимается на меньшую высоту, чем если бы она была брошена вверх в пустоте с той же начальной скоростью; кроме того, она падает тоже медленнее, так как ее падение замедляется сопротивлением воздуха. По этим двум причинам скорость при возвращении будет меньше, чем та же скорость при движении в пустоте, т. е. меньше чем

Полагая снова мы сумеем легко выполнить интегрирования в случае Имеем

откуда, потенцируя, получим

Точка поднимется на максимальную высоту по истечении временя

Заменим в уравнении скорость через и проинтегрируем. Получим

Полагая стремящимся к нулю, мы придем к формуле движения в пустоте

Положим теперь Тогда, заменяя через величину получим

откуда, полагая имеем

Постоянная определится из начального условия Время, необходимое для поднятия на максимальную высоту, на которой равно Исходя из выражения для скорости, в котором после квадратуры найдем

3°. Прямолинейное движение тяжелой материальной точки по наклонной плоскости с учетом трения и сопротивления среды.

Точка, пущенная из положения О (рис. 137) по линии наибольшего наклона плоскости, опишет прямую, наклон которой к горизонту мы обозначим через I. Силами, приложенными к точке, являются вес сопротивление среды, которое мы будем считать пропорциональным направленное в сторону, противоположную скорости, нормальная реакция плоскости и, наконец, сила трения также направленная в сторону, противоположную скорости. Эта сила, согласно экспериментальным законам трения (п. 195), не зависит от скорости точки и пропорциональна нормальной реакции: где есть коэффициент трения.

Рис. 137.

Исследуем подробно нисходящее движение. Возьмем ось направленную вниз, как на чертеже, и перпендикулярную к ней ось Выписав оба уравнения движения, имеем

Так как у все время равно нулю, то

Заменив его значением получим уравнение

Необходимо различать три случая в зависимости от того, будет ли первый член положительным, отрицательным или равным нулю.

Первый случат . В этом случае первый член положителен. Обозначая его через получим

Это уравнение идентично уравнению нисходящего движения по вертикали в сопротивляющейся среде и отличается от него лишь заменой через Скорость, следовательно, стремится к

Второй случай. Первый член отрицателен, и, обозначая его через мы получим уравнение

идентичное уравнению восходящего движения по вертикали с заменой на Скорость будет уменьшаться и обратится в нуль по истечении конечного промежутка времени Т. Следовательно, к этому времени точка достигнет некоторого положения А, в котором сопротивление воздуха и трение скольжения при движении уничтожаются, так как скорость обращается в нуль. Точка будет оставаться все время в этом положении, так как если бы она начала двигаться, то сразу возникли бы силы трения и сопротивления среды, которые вновь обратили бы скорость в нуль. Следовательно, в этом положении А имеет место изученное в главе I равновесие между весом и наклонной реакцией плоскости, вызванной трением покоя.

Третий случай. В этом случае получится уравнение:

Следовательно, скорость будет убывать, так как ее производная отрицательна. Будет ли она обращаться в нуль? Интегрируя, получим

если отлично от 1, и

если Следовательно, если больше или равно 1, то неограниченно возрастает, когда стремится к нулю: движение продолжается неопределенное время со скоростью, стремящейся к нулю.

Если меньше 1, то стремится к определенному пределу Т, когда v стремится к нулю:

По истечении этого времени скорость обратится в нуль и точка остановится, так как при скорости, равной нулю, пропадет, как и в предыдущем случае, сопротивление.

Пройденное расстояние х будет конечным или бесконечным в зависимости от того, будет ли меньше или больше чем 2.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление