Главная > Физика > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

245. Устойчивость равновесия.

Допустим, что сила X, Y, Z зависит только от положения движущейся точки. Тогда величина будет функцией только от и для нахождения положений равновесия нужно найти значения обращающие в нуль (п. 92). Эта задача

сводится к тем же вычислениям, что и при нахождении максимума и минимума функции

определенной с точностью до аддитивной постоянной. Мы хотим доказать, следуя Лежен-Дирихле, что если для какого-нибудь значения эта функция действительно имеет максимум, то соответствующее положение равновесия устойчиво.

Мы можем для упрощения положить так как это равносильно замене параметра новым параметром Мы можем также предположить, что функция обращается в нуль в рассматриваемом положении равновесия при так как это сводится к подходящему выбору произвольной постоянной, которую можно добавить к т. е. нужно принять

Тогда при функция будет иметь максимум, равный нулю; это значит, что если — произвольная положительная постоянная, меньшая некоторой, наперед заданной величины, то при всех значениях отличных от нуля и удовлетворяющих единственному условию

функция будет отрицательной.

Считая, что число выбрано сколь угодно малым, сместим точку из положения равновесия в некоторое начальное положение, соответствующее значению параметра заключенному между и сообщим ей начальную скорость Докажем, что можно найти два, таких положительных числа что при выполнении только двух условий

точка в своем последующем движении не выйдет за крайние положения, соответствующие значениям параметра и даже не достигнет этих положений. В самом деле, так как величины отрицательны и не равны нулю, то можно найти положительное число которое будет одновременно меньше, и меньше, чем — так что сумма будучи положительной при станет отрицательной при При движении точки, согласно теореме кинетической энергии, будет

Определим из условий

Из первого неравенства получаем для верхний предел а, равный второе неравенство в силу непрерывности функции обращающейся в нуль при требует, чтобы было по абсолютному значению меньше некоторого положительного предела Тогда, если эти начальные условия выполнены, получим

Отсюда видно, что не может достигнуть пределов так как, если достигнет какого-нибудь из этих пределов, то кинетическая энергия являющаяся существенно положительной величиной, должна оставаться меньше правой части, которая при становится отрицательной, что является абсурдом. Следовательно, равновесие действительно устойчиво.

Примечание. Когда сила зависит от скорости, величина зависит по-прежнему от и еще от Для нахождения положений равновесия нужно найти значения обращающие в нуль при условии, что Если какое-нибудь положение равновесия будет найдено, то для того, чтобы узнать, устойчиво оно или неустойчиво, нужно будет исследовать движение точки, предположив, что она бесконечно мало смещена из этого положения равновесия и что ей сообщена бесконечно малая скорость. Примером того, как это нужно делать, служит теория математического маятника, подверженного действию сопротивления среды, пропорционального скорости. В дальнейшем мы дадим систематическое изложение исследования малых движений около положения устойчивого равновесия.

Рис. 155.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление