Главная > Физика > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

253. Приложения.

1°. Тяжелая точка, движущаяся при отсутствии сопротивления среды и трения. Прежде всего можно свести нахождение пространственных таутохронных кривых под действием веса к нахождению плоских кривых. В самом деле, вообразим пространственную таутохронную кривую С и рассмотрим цилиндр, проектирующий эту кривую на горизонтальную плоскость. Если развернуть этот цилиндр на вертикальную плоскость, удерживая его образующие вертикально, то кривая С перейдет в плоскую кривую С той же длины, а касательная, составляющая веса точки, не изменится. Вследствие этого движение не изменится, и новая кривая будет таутохроной. Обратная операция позволяет переходить от плоской кривой С к пространственной С.

Докажем, что единственной таутохронной кривой для веса в вертикальной плоскости является циклоида.

Примем за начало точку таутохронизма на таутохронной кривой, а ось направим вертикально вверх. Так как заданная сила является весом, то для рассматриваемого случая и касательная составляющая силы равна — Эта составляющая должна иметь вид Следовательно, обозначая через положительную постоянную, имеем

без добавления постоянной, так как обращается в нуль одновременно с Это уравнение характеризует циклоиду с горизонтальным основанием и с вершиной в начале.

2°. Два закона сил. Мы видели, что таутохронная кривая определяется с точностью до постоянных, когда требуют, чтобы таутохронизм имел место отдельно для двух различных законов сил при одной и той же точке таутохронизма для обоих законов.

Найдем, например, кривую, которая является таутохроной: 1) для силы тяжести и 2) для силы притяжения, имеющей постоянную интенсивность и исходящей от вертикальной оси. Примем эту ось за ось

тая ее направленной вверх. Мы можем всегда выбрать начало и ось таким образом, чтобы точка таутохронизма лежала на оси на расстоянии а от начала.

Так как в рассматриваемом случае первая сила имеет силовую функцию — а вторая — силовую функцию — где — расстояние от движущейся точки до оси то имеем два условия таутохронизма:

так как при должно быть

Эти уравнения можно представить в более простом виде:

где — положительные постоянные.

Исключение показывает, что кривая должна лежать на поверхности

являющейся круговым конусом с осью Чтобы закончить определение кривой, введем цилиндрические координаты

Элемент дается равенством

Выразим и в функции при помощи предыдущих формул. Из уравнения (2) и из второго уравнения (1) имеем

Подставляя в равенство (3) и сокращая, получим уравнение горизонтальной проекции

где а — положительная постоянная, большая чем а. Так как кривая выходит из точки таутохронизма то нижний предел интегрирования принят равным а.

Горизонтальная проекция кривой заключена между двумя окружностями Она касается первой из них и нормальна ко второй, на которой она имеет точки возврата. Интегрирование при помощи очевидной подстановки

приводится к интегралу от рациональной функции.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление