Главная > Физика > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО НЕПОДВИЖНОЙ ИЛИ ДВИЖУЩЕЙСЯ ПОВЕРХНОСТИ

I. Общие положения

262. Уравнения движения.

Дана поверхность которая может изменять как свое положение, так и свою форму, и пусть

— уравнение этой поверхности в прямоугольных координатах. В частном случае, когда поверхность неподвижна, это уравнение не будет содержать времени Материальная точка М с координатами х, у, z скользит без трения по этой поверхности и находится под действием заданных сил, равнодействующая которых имеет проекции Требуется найти движение точки. Со стороны поверхности на точку будет действовать нормальная реакция проекции которой будут величинами вида

Точку можно рассматривать как свободную, находящуюся под действием сил Уравнения движения будут

Эти уравнения совместно с уравнением (1) поверхности образуют систему четырех уравнений, определяющих х, у, z и X в функции t.

Для нахождения уравнений, определяющих х, у, z в функции необходимо из уравнений (2) исключить X, что приведет к двум уравнениям. После того, как движение будет найдено, значение X, а следовательно, и величина реакции, найдется из любого уравнения системы (2) или из комбинации этих уравнений.

263. Уравнения Лагранжа.

Метод Лагранжа, который мы сейчас изложим, сходен с тем, которым мы пользовались для изучения движения точки по кривой Всегда возможно выразить координаты точки поверхности , в частности, движущейся точки М, в функции двух параметров и

Эти выражения таковы, что если из них исключить то вновь получится уравнение (1) поверхности. Они содержат явно время которое входит в уравнение (1). В частном случае, когда поверхность S неподвижна, уравнение (1) не будет содержать времени и можно будет распорядиться так, чтобы выражения (3) для х, у, z также не содержали времени явно.

Чтобы знать движение, достаточно знать, как выражаются через параметры определяющие положения движущейся точки. Для нахождения требуются два уравнения, которые могут быть составлены следующим образом. Умножив уравнения (2) соответственно на и сложив их, получим:

где

В этом равенстве коэффициент исчез вследствие соотношения

которое выражает, что нормаль к поверхности нормальна и к кривой, которую опишет точка (3), если, сохраняя постоянными и изменять только параметр эта кривая лежит на поверхности Точно так же, умножая уравнения движения (2) соответственно на и складывая, получим уравнение

где

Уравнения (4) и (4) и будут определять в функции Их можно написать в значительно более простой форме. Обозначим через производные от по и через х, у, z проекции точки. Уравнение (4) можно представить в виде

так как, очевидно,

Но, на основании равенств (3), х зависит от и непосредственно и через которые являются функциями от следовательно,

Точно так же зависит от и непосредственно и через и следовательно,

В выражении (6) будем рассматривать как функцию переменных Тогда найдем, что

т. е.

Аналогичные вычисления приводят к следующим результатам:

Заменяя в уравнении движения (5) величины

найденными для них сейчас значениями, получим уравнение

или

где положено

Точно так же, преобразуя уравнение (4), найдем

Уравнения (7) и (7) являются уравнениями движения по Лагранжу. Чтобы получить их, достаточно вычислить величину Т, равную кинетической энергии точки; в этой величине нужно заменить их значениями, такими, как (6), чтобы выразить Т через и после этого можно составить уравнения (7) и (7).

В этих уравнениях правые части и вычислены выше. Их можно определить еще следующим образом: сообщим точке возможное перемещение по поверхности т. е. такое, которое получится, если, оставляя постоянным, дать величинам приращения Проекции этого возможного перемещения на оси координат будут

Отсюда, учитывая найденные выше значения получим для возможной силы выражение

Таким образом, для нахождения величин достаточно определить коэффициенты при и в выражении возможной работы силы на произвольном перемещении, осуществляемом на поверхности S в положении, которое эта поверхность занимает в момент

Чтобы получить, в частности, нужно сообщить точке возможное перемещение, которое получится, если, оставляя постоянными и изменить только на величину ее вариации тогда соответствующая возможная работа силы будет Точно так же, чтобы получить нужно взять возможное перемещение, при котором постоянны и работа силы будет тогда равна

Если существует силовая функция или выполняется более общее условие, согласно которому X, Y, Z являются частными производными функции содержащей время, то

Действительно, зависит от через х, у, z и, следовательно,

Аналогичное выражение получим и для

264. Приложения.

1°. Движение точки на неподвижной плоскости в полярных координатах. Найдем движение точки на плоскости приняв за параметры две полярные координаты Формулы, определяющие в функции двух параметров, для рассматриваемого случая будут следующие:

Допустим, что на точку действует сила лежащая в плоскости и имеющая проекции . Функция Т будет

а уравнения движения —

Так как

Функции и можно найти и непосредственно. Обозначим через и Р составляющие силы по радиусу-вектору в направлении возрастания и по прямой, к нему перпендикулярной в направлении возрастания . На перемещении вдоль радиуса-вектора работа силы равная сумме работ сил Р и приводится к виду так как работа силы Р равна нулю (рис. 163). Следовательно,

Рис. 163.

Точно так же для возможного перемещения, которое получается, если предположить, что остается постоянным, а изменяется, и которое происходит по окружности радиуса и равно работа силы сводится к работе силы Р и равна Имеем, следовательно

Учитывая найденные значения получим уравнение движения:

Когда сила является центральной, Р все время равно нулю, и мы получаем

(закон площадей).

2°. Найти движение без трения тяжелой точки на плоскости, равномерно вращающейся вокруг горизонтальной оси, лежащей в этой плоскости.

Будем отсчитывать время от того момента, когда вращающаяся плоскость совпадает с плоскостью которую мы предполагаем горизонтальной, принимая ось вращения за ось х. Если — угол между движущейся плоскостью и плоскостью (рис. 164), то , где — угловая скорость вращения. Уравнение вращающейся плоскости будет тогда

Рис. 164.

Применяя общие формулы (262), получим уравнения движения:

причем нормальная реакция будет в точности равна величине X. Для фиксирования положения точки М на движущейся плоскости воспользуемся координатами в системе осей причем х будет играть роль параметра — роль параметра Формулы преобразования будут

и для функции Т получим

Для действующей силы существует силовая функция

Следовательно:

Уравнения движения будут

Первое из этих уравнений показывает, что проекция точки М на ось х движется равномерно. Второе уравнение, будучи линейным с постоянными коэффициентами, интегрируется и имеет общий интеграл

Для нахождения уравнения проекции траектории на плоскость достаточно заменить в этом соотношении углом Тогда

Представляет интерес частный случай, когда начальные условия таковы, что А и В равны нулю; для этого достаточно, чтобы точка была брошена от оси вращения таким образом, чтобы ее проекция на прямую имела начальную скорость, равную Тогда уравнение проекции траектории на плоскость будет

Это — окружность, касающаяся в точке О оси Траектория будет винтовой линией.

Для вычисления нормальной реакции возьмем снова одно из уравнений движения;

Заменяя в нем у его значением имеем

Отсюда, вспоминая уравнение, определяющее

получим

Эта формула, в которой следует заменить его значением через определяет в функции нормальную реакцию, которая в рассматриваемом случае совпадает с X.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление