Главная > Физика > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

267. Устойчивость равновесия в случае существования силовой функции U.

Как мы видели в статике, для нахождения значений соответствующих положению равновесия точки, необходимо составить два уравнения: . В частном случае, когда является дифференциалом функции уравнения равновесия совпадают с уравнениями, которые нужно написать при нахождении максимума или минимума функции

Мы хотим доказать, следуя Лежен-Дирихле, что если для какой-нибудь системы значений функция имеет максимум, то соответствующее равновесие устойчиво. Доказательство совпадает с данным ранее (п. 208) для свободной точки. Укажем его в немногих словах. Можно всегда предполагать, что максимум имеет место при так как это приведет к выбору новых параметров и что этот максимум равен нулю, так как это равносильно вычитанию из некоторой постоянной, что допустимо, поскольку эта функция определяется с точностью до постоянной. Согласно определению максимума, функция будет тогда отрицательной и отличной от нуля вблизи рассматриваемого положения равновесия Р. Проведем на поверхности малую замкнутую кривую С, окружающую Р. На этой кривой функция отрицательна и не равна нулю. Следовательно, существует такое малое положительное число что функция будет на кривой С тоже отрицательна. Сместим теперь точку из положения равновесия Р в близкое положение лежащее внутри С, где принимает значение и сообщим ей скорость Получим

Выберем начальное положение и начальную скорость так, чтобы выполнялись условия

что вследствие непрерывности потребует, чтобы и расстояние были меньше некоторых пределов. При этих условиях точка не выйдет за кривую С и даже ее не достигнет, так как из уравнения кинетической энергии получаем неравенство

а делается отрицательным на граничной кривой С.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление