Главная > Физика > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

29. Приложение общих теорем к случаю параллельных скользящих векторов.

Если все векторы некоторой системы параллельны, то эта система эквивалентна либо одному вектору, либо одной паре; либо нулю. В самом деле, так как моменты всех векторов относительно какой-нибудь точки направлены перпендикулярно общему направлению этих векторов, то и главный момент, если он отличен от нуля, будет также перпендикулярен этому направлению. Главный вектор, если он отличен от нуля, параллелен этому направлению. Следовательно, инвариант обращается в нуль.

Пусть - направляющие косинусы какой-нибудь полупрямой, параллельной общему направлению векторов. Обозначим через величины этих векторов, причем эти величины будем считать положительными, если направления соответствующих векторов совпадают с направлением выбранной полупрямой, и отрицательными — в противном случае. Тогда, если — координаты какой-нибудь точки приложения вектора — проекции этого вектора на оси координат, которые мы считаем прямоугольными, и — его моменты относительно этих осей, то

Отсюда, полагая

где сумма распространена на все векторы системы, получим следующие выражения для проекций главного вектора и главного момента:

Непосредственно убеждаемся в справедливости соотношения

Следовательно:

если то система эквивалентна одному вектору;

если то система эквивалентна одной раре;

если то система эквивалентна нулю.

Отсюда получаем необходимые и достаточные условия эквивалентности системы нулю:

Примечание. В частном случае, когда

предыдущие условия будут выполняться, каковы бы ни были Система будет эквивалентна нулю, какое бы направление ни задавать параллельным векторам, если только при этом не изменять отношения их величин и точек приложения. Говорят, что в этом случае система параллельных векторов находится в астатическом равновесии.

Центральная ось. Результирующий вектор. Пусть Тогда система эквивалентна одному вектору, алгебраическое значение которого равно Р и проекции которого суть Этот вектор лежит на центральной оси. Для краткости мы будем называть его результирующим вектором системы.

Уравнения центральной оси в рассматриваемом случае принимают вид

так как общее значение отношений, которые образуют уравнение этой оси, обращается в данном случае в нуль. После подстановки найденных ранее значений X, получим:

откуда

Полагая здесь

получим

т. е. уравнение прямой проходящей через точку С с координатами и параллельной заданным векторам.

Когда все векторы скользят вдоль их линий действия, прямая не изменяется, так как не изменяются величины X, Y, Z, L, М, N. Координаты точек приложения изменяются; поэтому точка перемещается, но она описывает центральную ось заданных параллельных скользящих векторов, вдоль которой скользит результирующий вектор.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление