Главная > Физика > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

300. Декартовы координаты в пространстве.

Предположим, для простого примера, что обозначают декартовы координаты:

и примем для простоты массу материальной точки, равной единице. Тогда

и если допустить, что существует силовая функция , то функция Гамильтона будет

Необходимо выразить эту функцию через переменные и вспомогательные переменные определяемые формулами

так чтобы функция Гамильтона приняла вид

Вследствие этого канонические уравнения будут

Исключение переменных из этих уравнений приведет, очевидно, к обычным уравнениям движения.

Посмотрим, что дает в этом случае метод Якоби. Этот метод состоит в том, что нужно найти для дифференциального уравнения

полный интеграл, т. е. интеграл, содержащий три не аддитивные постоянные. Так как время не входит явно в это уравнение, то можно положить

где — постоянная, и достаточно, чтобы функция удовлетворяла соотношению

Если для этого уравнения с тремя переменными будет найден полный интеграл

содержащий две новые постоянные а и из которых ни одна не является аддитивной, то теорема Якоби показывает, что конечные уравнения движения будут

Два первых уравнения представляют траекторию, а последнее определяет время, затрачиваемое движущейся точкой для прихода в какое-нибудь положение на ее траектории. Кроме того, для получаем значения

и так как равны здесь х, у, z, а V равно — , то имеем

Эти формулы определяют проекции скорости точки, выраженные в функции ее координат через частные производные одной функции Так как эта функция удовлетворяет уравнению то

что представляет собой не что иное, как интеграл кинетической энергии. Следовательно, , как мы уже видели, является постоянной интеграла кинетической энергии.

Мы можем, между прочим, легко проверить геометрическое свойство траекторий. Дадим постоянным какие-нибудь определенные значения. Написанные выше выражения для через частные производные функции показывают, что в каждой точке скорость нормальна к той из поверхностей которая проходит через эту точку. Но скорость касается той из траекторий

которая получается, если и подобраны так, чтобы эта траектория проходила через рассматриваемое положение движущейся точки. Следовательно, все траектории, получающиеся при изменении а и нормальны к поверхностям Это и является геометрическим свойством траекторий, установленным выше в общей системе координат

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление