Главная > Физика > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

303. Центральная сила — функция расстояния.

Мы видели (п. 296), что если начало координат взять в центре сил и если силовая функция равна то в полярных координатах функция Н будет иметь вид

Применим метод Якоби. Уравнение, определяющее для которого требуется найти полный интеграл, будет следующего вида:

Так как в это уравнение не входит явно , то будем искать интеграл в виде

где зависит только от Тогда нужно, чтобы эта функция удовлетворяла обыкновенному дифференциальному уравнению

откуда находим

Следовательно, полный интеграл уравнения Якоби для имеет вид

и конечные уравнения движения будут

Первое уравнение определяет траекторию, а второе — время, необходимое точке для достижения заданного положения на этой кривой.

Значения если это понадобится, найдутся из равенств:

Последнее уравнение показывает, что а есть не что иное, как постоянная площадей, так как равно

Из теоремы кинетической энергии мы знаем, что Н должно оставаться постоянным в течение всего времени движения. Мы можем проверить это предложение, воспользовавшись полученными сейчас формулами. Действительно, если мы в выражении

заменим переменные их значениями, то получим

что и подтверждает, что А действительно является постоянной интеграла кинетической энергии, как мы это доказали ранее.

Рис. 177.

Траектории, получающиеся при изменении и, что равносильно вращению одной из них вокруг полюса, ортогональны к кривым эти кривые также получаются вращением какой-нибудь одной вокруг полюса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление