Главная > Физика > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

305. Геодезические линии поверхностей Лиувилля. Приложение к эллипсоиду.

Лиувилль заметил, что можно при помощи квадратур найти геодезические линии поверхностей, для которых квадрат линейного элемента, при подходящем выборе параметров может быть представлен в форме

где и зависят только от и только от Чтобы получить геодезические линии, достаточно найти траектории материальной точки массы 1, движущейся по поверхности и не подверженной действию никакой силы. Тогда

Уравнение Якоби, если в нем положить будет, следовательно,

или

Приравняв каждую из этих двух величин одной и той же постоянной , легко получим полный интеграл образованный суммой двух функций, из которых одна зависит только от а другая только от Этот интеграл есть

Уравнение геодезических линий будет тогда — а время определится из формулы

Так как по теореме кинетической энергии скорость точки постоянна, то

Второе соотношение определяет дугу геодезической линии.

Приложим этот метод к эллипсоиду. Пусть

- уравнение эллипсоида с тремя неравными осями. Рассмотрим софокусные поверхности

Через каждую точку пространства проходят три такие поверхности, соответствующие трем значениям величины X (п. 286). В частности, через точку М, взятую на эллипсоиде (2), проходит сам рассматриваемый эллипсоид, соответствующий значению и две другие софокусные поверхности, соответствующие значениям величины X. Мы примем эти два параметра за координаты точки М на поверхности. Согласно теореме Дюпена, кривые являются линиями кривизны эллипсоида. Для величины в эллиптических координатах мы нашли ранее (п. 286) выражение вида

Так как сейчас то Тогда, заменяя их значениями при получим

Эта величина действительно имеет форму, данную Лиувиллем, причем

Подставляя эти значения в общие уравнения (1), получим уравнение геодезических линий и дуги этих кривых в форме, данной Якоби. Эти уравнения содержат ультраэллиптические интегралы. Вейерштрасс дал обращение этих интегралов, выразив и в виде однозначных функций некоторого параметра.

Более подробные сведения о поверхностях Лиувилля можно найти в «Lefons sur la Theorie generale des surfases» Дарбу (часть 3, глава I) и в премированной работе Кёнигса (Savants etrangers, 1894).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление