Главная > Физика > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

V. Приложения к принципу наименьшего действия, к брахистохронам, к равновесию нитей

309. Наименьшее действие. Свободная точка.

Допустим, что на свободную точку массы 1 действует сила, имеющая силовую функцию . Мы видели, что если постоянная живых сил имеет определенное значение, то траектории, проходящие через две заданные точки А и В, являются кривыми, обращающими в нуль вариацию действия

Эти траектории легко найти, если известен полный интеграл уравнения Якоби относительно в произвольной системе координат:

Для дальнейшего полезно написать это уравнение в явной форме. Мы видели (п. 293), что Т является квадратичной формой от

кроме того, Уравнение Якоби, получающееся заменой производными имеет вид

Пусть теперь — полный интеграл этого уравнения, — значения, которые он принимает в точках А и В. Мы знаем, что уравнения траекторий в конечной форме суть

с четырьмя постоянными

Чтобы найти траектории, проходящие через точки А и В, надо определить эти постоянные, подставив в уравнения (4) координаты точек А и В. Тогда будет

Вычитая, получим

Эти два последних уравнения определяют а предыдущие уравнения (5) определяют . Каждой системе значений заданной уравнениями (6), соответствует траектория, проходящая через, точки А и В, для которой справедлива следующая замечательная теорема: значение действия вдоль траектории определяется формулой

В самом деле, найдем, каково будет элементарное приращение функции соответствующее бесконечно малому перемещению совершаемому по этой траектории. Мы можем предположить, что являются координатами материальной точки, брошенной таким образом, чтобы она описала рассматриваемую траекторию. Тогда

или, подставляя вместо вместо получим

Так как суть частные производные от Т по и так как кинетическая энергия равна то на основании теоремы об однородных функциях имеем

Но по теореме кинетической энергии скорость равна отсюда

Следовательно, значение действия, вычисленного вдоль траектории от А до В, окончательно будет

что и надо было доказать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление