Главная > Физика > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

312. Брахистохроны и фигуры равновесия нитей в случае силовой функции. Задача рефракции.

Если мы для краткости заменим в предыдущих равенствах величиной где — функция координат, то увидим, что результаты, полученные для свободной точки, могут быть выражены следующим образом. Кривые, соединяющие две точки А и В и обращающие в минимум интеграл

будут известны, если известен полный интеграл уравнения Якоби (3) относительно в котором заменено величиной

Их уравнения будут

и значение интеграла I вдоль одной из этих кривых равно причем постоянные вычисляются, как и раньше, при помощи уравнений (6).

Например, в прямоугольных декартовых координатах достаточно знать полный интеграл уравнения

Точно так же, чтобы найти на неподвижной поверхности кривые, соединяющие две точки А и В и обращающие в минимум интеграл достаточно иметь полный интеграл уравнения Якоби (8) относительно в котором нужно заменить величиной Получится уравнение

Искомые кривые будут тогда иметь уравнение — а, и интеграл (10) вдоль одной из этих кривых равен

Но мы видели, что к нахождению кривых, обращающих в минимум интеграл вида (10), можно свести три следующие задачи:

1) определение фигуры равновесия нити, свободной или лежащей на поверхности, когда действуют силы, имеющие силовую функцию (п. 146);

2) общую задачу рефракции (п. 150);

3) определение брахистохрон для точки, свободной или движущейся по поверхности, когда существует силовая функция (пп. 255 и 257).

Эти задачи могут быть, следовательно, приведены к нахождению полного интеграла уравнения с частными производными вида или (12). Значение интеграла (10) вдоль одной из этих кривых, идущих от А к В, есть В частном случае брахистохрон значение этого интеграла определяет время, затрачиваемое точкой для пробега дуги АВ брахистохроны. (См. Клебш, Journal de Crelle, т. 57, стр. 93; Аппель, Comptes rendus, 12 марта 1883 и Annales de la Faculte de Toulouse, 1887; Андуайе, Comptes rendus, m. C, стр. 1577; Марколонго, Rendiconti della R. Accademia delle Scienze di Napoli, июль, 1888.)

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление