Главная > Физика > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

51. Распределение скоростей в движущемся твердом теле.

Отнесем движение к трем неподвижным в пространстве прямоугольным осям Для определения положения тела введем три прямоугольные оси Охуг, ориентированные так же, как и первые, и неразрывно связанные с телом (рис. 46). Достаточно знать движение этих осей, которое определяется координатами подвижного начала и девятью направляющими косинусами подвижных осей относительно неподвижных, выраженными в функции времени. Будем полагать, что эти девять направляющих косинусов даются следующей таблицей:

Рис. 46.

Пусть М — точка тела, имеющая координаты х, у, z относительно подвижных осей и относительно осей неподвижных. Числа х, у, z являются постоянными, так как точка М неразрывно связана с движущимися осями.

По формулам преобразования координат имеем:

Дифференцируя эти выражения по мы получим проекции скорости V точки М (рис. 46) на неподвижные оси:

Для простого истолкования этих формул найдем проекции скорости V на подвижные оси. Очевидно, имеем

Вычислим правые части, заменяя в них полученными для них выражениями и замечая, что такие величины, как

равны нулю вследствие соотношений

Далее, примем во внимание соотношения

которые продифференцируем по . Получим:

Здесь обе части мы обозначаем соответственно через Окончательно получим:

где обозначают проекции скорости точки О на подвижные оси:

Эти формулы имеют простой смысл. Они показывают, что скорость V каждой точки М твердого тела есть геометрическая сумма двух векторов: вектора , общего для всех точек М, равного и параллельного скорости точки О, и вектора и, изменяющегося с положением точки М и имеющего проекции на подвижные оси. Вектор есть скорость, которую имела бы точка М, если бы тело совершало поступательное движение со скоростью . Вектор и есть скорость, которую имела бы та же точка, если бы тело совершало вращение имеющее проекции на подвижные оси. Это вращение называется мгновенным вращением. Полученный результат выражают, говоря, что скорость произвольной точки тела есть результирующая скорости поступательного движения, равной скорости какой-нибудь точки О тела, и скорости вращения вокруг некоторой оси, проходящей через О.

Полученные формулы являются основными для кинематики. Когда движение твердого тела дано, то шесть величин являются известными функциями времени. Наоборот, если эти величины даны в функции времени, то можно найти движение триэдра.

Компоненты скорости по неподвижным осям легко выводятся из полученного результата. Прежде всего, для проекций на неподвижные оси имеем

Далее, обозначая через проекции мгновенного вращения на неподвижные оси и пользуясь формулами вращения получим следующее выражение для проекции вектора и на ось

Следовательно, проекция скорости V на будет

Два аналогичных выражения получаются для

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление