Главная > Физика > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

88. Примеры.

1°. Даны две точки Допустим, что действие точки на точку выражается силой направленной по прямой . По закону равенства действия и противодействия действие точки на точку выражается силой равной силе но направленной противоположно (рис. 62). Совокупность этих двух сил называется взаимодействием двух точек. Условимся называть алгебраическим значением взаимодействия двух точек величину силы или взятую со знаком плюс или минус, в зависимости от того будут ли точки отталкиваться (как на чертеже) или притягиваться. Тогда, обозначая через расстояние , мы получим для проекций сил значения

Рис. 62.

Вычисляя сумму элементарных работ этих двух сил, называемую элементарной работой взаимодействия найдем

Это выражение приводится к виду

в силу очевидных соотношений

Если, следовательно, взаимодействие двух точек есть функция только расстояния между ними, а именно то сумма элементарных работ обеих сил будет полным дифференциалом функции

Так, в частности, для двух точек, притягивающихся с силами, пропорциональными их массам и и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними

где - постоянная, откуда

Предположим, что точки вначале были бесконечно удалены друг от друга, а затем приблизились на расстояние Тогда полная работа будет равна изменению функции при переходе от первого положения ко второму, т. е.

2°. Пусть теперь дано произвольное число Точек Допустим, что любые две из этих точек оказывают друг на друга взаимное действие, алгебраическое значение которого есть функция только расстояния между этими точками. Если системе сообщить бесконечно малое перемещение, то сумма элементарных работ всех этих взаимодействий, согласно предыдущему, будет равна

где суммирование распространяется на все попарные комбинации индексов и причем Эта сумма является полным дифференциалом функции

и, следовательно, существует силовая функция. Например, для системы трех точек с массами притягивающих друг друга по закону пропорциональности массам и обратной пропорциональности квадратам расстояний, получается

откуда с точностью до аддитивной постоянной

Это значение равно полной работе взаимодействий при переходе трех точек из положения, при котором они бесконечно удалены друг от друга, в положение, которое они действительно занимают.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление