Главная > Физика > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

92. Точка, движущаяся без трения по неподвижной кривой.

Пусть задана неподвижная кривая С и на ней точка М, движущаяся без трения под действием сил, равнодействующая которых есть Так же, как и в случае точки, движущейся по поверхности, убеждаемся, что при равновесии сила если она не равна нулю, должна

быть нормальна к кривой. Если это условие выполнено, то сила будет уравновешиваться сопротивлением кривой, и равновесие будет иметь место.

Действие кривой на точку выражается нормальной силой которая называется нормальной реакцией. Точка М оказывает на кривую давление, равное и противоположное этой реакции. Если точка находится в равновесии, то нормальная реакция равна силе но противоположна ей, а давление точки на кривую есть сама сила (рис. 66).

Пусть

— уравнения кривой, отнесенной к трем прямоугольным осям, и X, Y, Z — проекции равнодействующей сил, приложенных к точке . Для того чтобы выразить, что имеет место равновесие, достаточно написать, что сила равна и прямо противоположна нормальной реакции Эта последняя может быть всегда разложена на две другие, направленные по нормалям и к двум поверхностям пересечение которых определяет заданную кривую, так как все три направления и лежат в одной нормальной плоскости. Эти две составляющие и реакции имеют соответственно проекции

Рис. 66.

Так как реакция и сила находятся в равновесии, то

Эти три уравнения совместно с уравнениями кривой определяют пять неизвестных

Можно упростить вычисления, если положить, что координаты точки кривой выражены в функции одного параметра при помощи уравнений

Направляющие косинусы касательной пропорциональны производным и условие равновесия получится, если приравнять нулю величину

которую мы обозначим через Каждому значению обращающему в нуль, соответствует положение равновесия. В рассматриваемом

случае отыскание положений равновесия всегда приводится к отысканию максимума и минимума функции, зависящей только от одной переменной. Положим

где в первом интеграле для того, чтобы он совпал со вторым, нужно заменить величины их выражениями через Условие равновесия получится, если отыскивать те значения которые обращают в нуль производную от по т. е. если искать максимум и минимум функции Если существует силовая функция , то функция получится, очевидно, заменой величин их выражениями через . В этом случае поверхность уровня, проходящая через положение равновесия касается в этой точке кривой. В дальнейшем, при помощи общего метода мы покажем, что действительным максимумам функции отвечают положения устойчивого равновесия. В виде упражнения (задача 7 в конце главы) мы укажем частный метод, позволяющий убедиться в справедливости этого предложения и основанный на том, что точка, предоставленная самой себе на кривой, стремится перемещаться по ней в сторону возрастания U.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление