Главная > Физика > Теоретическая механика. Динамика системы. Аналитическая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА XVIII. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ. СЕМЬ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

324. Указание метода.

Как мы уже делали в статике, мы будем рассматривать произвольную материальную систему, образованную твердыми телами, жидкостями, газами, как состоящую из большого числа материальных точек, подчиненных некоторым связям. Твердое тело, например, есть совокупность точек, находящихся на постоянном расстоянии между собой.

Общие теоремы получаются, если написать уравнения движения точек системы и составить из этих уравнений соответствующие сочетания.

I. Теоремы проекций и моментов количеств движения

325. Силы внутренние и внешние.

Внутренними силами системы называются силы взаимодействия между ее точками. Согласно закону равенства действия и противодействия эти силы попарно равны и противоположно направлены. Например, если точка М системы притягивает другую ее точку М с некоторой силой, то точка М притягивает точку М с силой, равной и противоположной первой.

Силы, отличные от внутренних сил, называются внешними силами.

Пусть координаты различных точек системы, массы которых

Если мы рассмотрим какую-нибудь из этих точек, имеющую массу и координаты то все действующие на нее силы мы сможем разделить на две категории:

1) одну, которая содержит внутренние силы действующие на точку ; проекции силы мы обозначим через

2) другую, которая содержит внешние силы действующие на ту же точку; проекции силы мы обозначим через

Тогда уравнения движения точки М, радиус-вектор которой обозначим через М будут:

или

326. Доказательство теоремы количества движения. Допустим, что уравнения (1) написаны для всех точек системы. Сложим почленно все эти уравнения. Получим:

где знак указывает, что суммирование распространено на все силы, действующие на каждую точку системы. Но в силу закона равенства действия и противодействия внутренние силы попарно равны и противоположно направлены. Следовательно, сумма равна нулю и предыдущие уравнения приводятся к виду

или

Эти уравнения можно написать также в виде

или

Они выражают теорему количества движения системы и теорему о проекциях количества движения.

Теорема. Производная по времена от суммы количеств движений точек системы равна сумме внешних сил.

Теорема. Производная по времена от суммы проекций количеств движений точек системы на какую-нибудь неподвижную ось равна сумме проекций внешних сил на ту же ось.

Отсюда следует, что если, например, то

Уравнения (2) допускают еще другое толкование. Обозначив через всю массу через — координаты центра тяжести системы, получим:

Уравнения (2) напишутся теперь в форме

В этой форме они выражают следующее свойство:

Теорема. Центр тяжести системы движется как материальная точка, масса которой равна всей массе системы и к которой приложены силы, равные и параллельные внешним силам системы.

Эта теорема, которой мы уже пользовались, интересна кроме прочего и в том отношении, что она придает реальное значение теории движения материальной точки. Она получила наименование теоремы движения центра тяжести. Эта теорема указана была Ньютоном для частных случаев.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление