Главная > Физика > Теоретическая механика. Динамика системы. Аналитическая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

435. Метод множителей Лагранжа для голономной системы.

Пусть дана голономная система, подчиненная связям, выраженным равенствами (6) предыдущего пункта.

Чтобы определить возможное перемещение, допускаемое наложенными связями в момент необходимо дать времени фиксированное численное значение и сообщить координатам такие вариации чтобы функции от приращенных координат были равны нулю, т. е. такие, чтобы нулю были равны

полные вариации функций Таким образом, получаются следующие уравнения, которым при возможном перемещении системы должны удовлетворять все

Нужно заметить, что когда связи зависят от времени, действительное перемещение системы не входит в число рассматриваемых здесь возможных перемещений. Например, при движении точки М, перемещающейся по некоторой кривой С (рис. 260), которая в свою очередь совершает заданное движение, единственным возможным перемещением, допускаемым связями в момент является перемещение совершаемое по кривой С в положении, которое эта кривая занимает в момент

Рис. 260.

Но в момент кривая С перейдет в положение С и движущаяся точка будет находиться в точке этой кривой. Следовательно, действительное перемещение не будет в общем случае совпадать с возможным перемещением. Вообще действительное перемещение системы удовлетворяет соотношениям:

Оно, следовательно, не заключено среди рассматриваемых возможных перемещений, которые должны удовлетворять условиям (10), если только не все выражения равны нулю, что имеет место, когда связи не зависят от времени.

Как мы уже говорили, уравнения (10) показывают, что среди вариаций только вариаций будут независимыми, а остальные будут выражены линейно из уравнений (10) в функции этих независимых вариаций. Мы могли бы подставить полученные таким образом значения в общее уравнение динамики (1), которое должно было бы после этого удовлетворяться при любых значениях произвольных вариаций. Будет, однако, проще применить метод множителей Лагранжа. Тогда при помощи вычислений, аналогичных тем, которые мы уже делали в случае равновесия (п. 177),

можно получить уравнения:

если в уравнениях равновесия заменить величины величинами:

Мы получим, таким образом, по три уравнения для каждой точки системы, а всего уравнений, которые совместно с уравнениями связей позволяют определить координат и параметров X в функции времени. Механическая интерпретация параметров X будет такой же, как и в случае равновесия: реакция связи, наложенной на точку массы и выраженной уравнением имеет проекции

Этот метод практически удобен лишь в том случае, когда числа точек системы незначительно. В противном случае надо постараться привести решение задачи к интегрированию возможно меньшего числа уравнений, выражая, как мы это делали, координат в функции к параметров и времени

Мы ограничимся сейчас несколькими непосредственными приложениями принципа Даламбера.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление