Главная > Физика > Теоретическая механика. Динамика системы. Аналитическая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

III. Теоремы кинематики для вычисления моментов количеств движения и кинетической энергии

347. Определение относительного движения системы вокруг ее центра тяжести.

Рассмотрим систему, движущуюся относительно неподвижных осей Охуг. Проведем через центр тяжести этой системы оси Охуг, параллельные неподвижным осям (рис. 193). Относительное движение системы по отношению к осям называется относительным движением системы вокруг ее центра тяжести.

348. Вычисление суммы моментов количеств движения относительно неподвижной оси.

Вводя это относительное движение, можно высказать следующую теорему:

Рис. 193.

Теорема. Сумма моментов количеств движения относительно какой-нибудь неподвижной оси равна моменту количества движения всей массы системы, предполагаемой сосредоточенной в центре тяжести, увеличенной на сумму моментов количеств движения относительно оси, параллельной первой и проходящей через центр тяжести, причем последняя сумма вычисляется для относительного движения вокруг центра тяжести.

Доказательство непосредственно вытекает из элементарных формул, касающихся преобразования осей координат.

Обозначим через координаты какой-нибудь точки системы относительно неподвижных осей, через координаты той же точки относительно осей проведенных через центр тяжести параллельно неподвижным осям, и через — координаты центра тяжести. Тогда, согласно формулам преобразования осей, имеем:

Вычислим, например, сумму моментов количеств движения точек системы относительно оси Получим:

Но центр тяжести является началом подвижных осей. Следовательно,

Кроме того,

так как величины и равны нулю и, следовательно, их производные тоже равны нулю.

Ввиду этих соотношений и ввиду того, что в первой сумме правой части можно вынести за скобку множитель причем мы получим уравнение

Это последнее уравнение выражает теорему, которую нужно было доказать, так как первый член есть момент количества движения относительно оси всей массы, сосредоточенной в центре тяжести О, а второй член есть сумма моментов количеств движения относительно оси параллельной оси вычисленных для относительного движения вокруг О.

Ту же теорему можно выразить в следующей форме:

Кинетический момент системы относительно точки О равен кинетическому моменту относительно точки О всей массы в предположении, что она сосредоточена в центре тяжести, сложенному с кинетическим моментом системы в ее относительном движении вокруг центра тяжести, взятым относительно этого центра тяжести.

В этом можно убвдитьвя, написав

и заметив, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление