Главная > Физика > Теоретическая механика. Динамика системы. Аналитическая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

378. Пример I.

Качение однородного тяжелого круглого цилиндра по горизонтальной плоскости (рис. 219). Допустим сначала, что цилиндр неподвижен и найдем горизонтальную силу Ф, которую нужно приложить к цилиндру параллельно плоскости и перпендикулярно его образующим, чтобы заставить его катиться.

Обозначим через расстояние силы Ф от плоскости, а через Р вес цилиндра. Определим сначала силу Ф таким образом, чтобы было равновесие. При таком предположении силами, приложенными к цилиндру, будут сила Ф, вес Р и нормальная реакция перенесенная вперед в на расстояние от нормали, меньшее чем , и, наконец, касательная реакция меньшая чем

Напишем, что суммы проекции всех этих сил на вертикаль и на горизонталь равны нулю:

Напишем, что сумма их моментов относительно точки геометрического касания равна нулю. Так как моменты сил и Р равны нулю, то получим

Напишем, что получим

Если эти оба условия выполняются, то будет равновесие.

Но если хотя бы одно из них не будет выполнено, то равновесия не будет. Случаи, когда то или другое из этих неравенств не удовлетворяется, могут быть разные.

Допустим сначала, что

Тогда силе Ф можно придать такое значение, что

Равновесие нарушено; имеет место качение, так как сила Ф меньше того значения силы трения скольжения какое она имеет в начале движения, и поэтому скольжение не может начаться.

Рис. 219.

Допустим, наоборот, что

Тогда можно взять

В этом случае произойдет скольжение. Для примера предположим, что

Цилиндр будет катиться, и к моменту он приобретет некоторую скорость. Найдем, какое значение нужно придать, начиная с этого момента, горизонтальной силе Ф, приложенной на высоте , чтобы движение качения оставалось после этого равномерным?

Для этого необходимо и достаточно, чтобы силы, приложенные к цилиндру, находились во время качения в равновесии. Действительно, так как

центр тяжести должен двигаться прямолинейно и равномерно, то главный вектор всех сил, приложенных к телу, должен равняться нулю. Далее, так как относительное движение тела вокруг центра тяжести должно быть вращением с постоянной угловой скоростью вокруг оси постоянного направления, то главный момент этих сил должен равняться нулю. Следовательно, силы должны находиться в равновесии. И наоборот, если силы, действующие на цилиндр, находятся в равновесии и цилиндр приведен в движение, то его центр тяжести будет равномерно двигаться по прямой.

Проектируя еще раз все силы на горизонталь и вертикаль, получим

так как отсутствует скольжение.

Возьмем после этого моменты относительно точки геометрического касания замечая, что сумма моментов должна равняться нулю и что расстояние от реакции до точки при качении равно 5. Получим:

Таким образом, для того чтобы привести цилиндр в движение, заставив его катиться, нужно приложить силу Ф, превосходящую но меньшую, чем Затем, после того как его центр тяжести приобретет нужную скорость, надо для того, чтобы поддерживать эту скорость качения, внезапно придать силе Ф значение

Пример II.

Применение катков для перемещения грузов по горизонтальной плоскости. Допустим, что тяжелое тело Р, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, поддерживается двумя катками одинаковых диаметров и с параллельными осями. Катки положены на горизонтальную плоскость (рис. 220).

Рис. 220.

Найдем, какую горизонтальную силу Ф нужно приложить к телу Р перпендикулярно к осям катков для того, чтобы привести его в равномерное движение и чтобы катки при этом одновременно катились как по телу, так и по плоскости. Силы, приложенные к телу, следующие: горизонтальная сила Ф, вес этого тела Р, касательные реакции и катков и, наконец, нормальные реакции катков. Силы, приложенные к катку следующие: вес этого катка, силы равные и прямо противоположные силам , наконец, касательная и нормальная реакции и плоскости.

На основании законов трения качения реакция плоскости приложена на расстоянии 8 от точки геометрического касания в направлении качения по плоскости, а реакция детали на каток приложена на расстоянии

от точки геометрического касания в направлении качения катка по телу. То же самое происходит и со вторым катком, причем будут одинаковые, а реакции будут отмечаться значком . Из соображений симметрии мы будем рассматривать все силы, как лежащие в одной и той же плоскости, нормальной к осям катков.

Так как тело должно совершать равномерное поступательное движение, то приложенные к нему силы должны находиться в равновесии. Проектируя эти силы на вертикаль и горизонталь, получим два уравнения:

К этим уравнениям нужно добавить также уравнение, выражающее, что сумма моментов сил, приложенных к телу, относительно какой-нибудь точки в плоскости этих сил равна нулю; но это соотношение, которое позволит вычислить не потребуется для дальнейшего.

Каток должен катиться равномерно, и поэтому приложенные к нему силы должны находиться в равновесии. Следовательно, проектируя на вертикаль и горизонталь и беря моменты относительно точки будем последовательно иметь

Так как то, исключая находим:

Точно так же

Окончательно на основании уравнений (2) имеем:

Можно пренебречь величиной по сравнению с и привести эту формулу к виду

Если тело непосредственно скользит по плоскости, то сила, необходимая для сообщения ему равномерного движения, будет иметь значение превосходящее предыдущее.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление