Главная > Физика > Теоретическая механика. Динамика системы. Аналитическая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

I. Общие уравнения

381. Вспомогательные сведения из геометрии. Переменные, определяющие положение подвижного триэдра относительно неподвижного триэдра с той же вершиной.

Рассмотрим прямоугольный неподвижный триэдр и прямоугольный подвижный триэдр Охуг, ориентированный так же, как неподвижный. Мы будем предполагать, что в обоих триэдрах вращение на 90° в положительном направлении вокруг оси переводит ось х в ось у. В аналитической геометрии положение триэдра Охуг определяют обычно девятью косинусами углов, которые образуют оси Охуг с осями

Между этими девятью косинусами существуют шесть известных соотношений, так что три из косинусов, подходящим образом выбранных, могут рассматриваться как произвольные. Отсюда ясно, что эти девять косинусов можно выразить в функции трех независимых параметров.

Наиболее употребительными переменными в механике являются углы Эйлера, а в современной геометрии — параметры Олинда Родрига (Olinde Rodrigues) и те, которые из них вытекают.

Углы Эйлера. Пусть (рис. 224) есть линия пересечения плоскости с плоскостью Выберем произвольно на этой прямой положительное направление и обозначим через угол между ним и направлением причем этот угол будем считать положительным в сторону положительного вращения от к вокруг Прямая перпендикулярна к плоскости Пусть — угол между считаемый положительными от в сторону положительного вращения вокруг Ось перпендикулярна к плоскости Пусть — угол, на который нужно повернуть прямую

в положительном направлении вокруг чтобы совместить ее с Ох. Угол будет тогда равен .

Три угла очевидно, не зависят друг от друга и могут быть выбраны совершенно произвольно. Каждой системе значений этих углов соответствует одно и только одно положение подвижного триэдра Охуг.

Пользуясь терминами, употребляемыми в астрономии, прямую иногда называют линией узлов, угол — углом прецессии, угол — углом нутации и — углом собственного вращения. Эти выражения всегда употребляются в случае, когда оси Охуг связаны с телом вращения вокруг оси

Рис. 224.

Формулы О линда Родрига. Легко выразить девять косинусов в функции углов . Мы не останавливаемся здесь на выводе этих формул, которые можно найти во всех курсах аналитической геометрии. Мы ограничимся лишь их написанием:

Если положить

то непосредственно эти четыре отношения окажутся связанными зависимостью

Выражая теперь девять косинусов в функции четырех отношений и исключая затем при помощи последнего соотношения, получим формулы Родрига

и шесть остальных аналогичных формул, определяющих девять косинусов в виде рациональных функций трех параметров, являющихся тремя отношениями трех из величин к четвертой.

Но можно идти еще дальше и еще более упростить классические формулы, выражающие координаты точки относительно неподвижных осей через координаты х, у, z той же точки относительно осей Для этого вводят четыре величины

связанные соотношением

Тогда можно показать, что формулы преобразования координат приводятся к одной и той же линейной подстановке

выполняемой одновременно для двух величин и и и.

Относительно формул Олинда Родрига мы отсылаем читателя к Lejons de Cinematique Кёнигса (Koenigs) и, в частности, к заметке Дарбу, помещенной в конце этой книги; далее относительно приведения формул преобразования координат к линейной подстановке мы отсылаем к той же книге. Кёнигса, стр. 337, к сочинению Клейна (Klein) и Зоммерфельда (Sommer-feld, Ueber die Theorie des Kreisels, гл. 1) и к заметке Лакура (Lасоиг, Nouvelles Annales de Mathematique, 3 serie, т. XVIII, декабрь 1899).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление