Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 105. Эллиптическое поперечное сечение

Пусть граница поперечного сечения (рис. 153) задается уравнением

Тогда уравнение (150) и граничное условие (152) удовлетворяются, если принять функцию напряжений в форме

где — постоянная. Подставляя (б) в уравнение (150), находим

Отсюда

Величина постоянной теперь определяется из условия (153). Подставляя в (153) выражение определяемое по формуле

(в), найдем

Поскольку

то из формулы (г) получаем

откуда

Тогда, согласно формуле (в),

Рис. 153

Подставляя это выражение в соотношения (149), полу чаш для компонент напряжений выражения

Отношение этих компонент напряжений пропорционально отко шению , следовательно, является постоянным вдоль любого радиуса, такого, как (рис. 153). Это означает, что результирующее касательное напряжение совпадает с направлением касательной к границе в точке А. Вдоль вертикальной оси ОВ компонента напряжения равна нулю, а результирующее напряжение равно Вдоль горизонтальной оси результирующее касательное напряжение равно Очевидно, максимальное напряжение действует на границе, и можно легко показать, что это максимальное напряжение возникает по концам малой оси эллипса. Подставляя в первое из уравнений (154), находим, что абсолютное значение этого максимума есть

При эта формула совпадает с хорошо известной формулой для кругового поперечного сечения.

Подставляя выражение (д) в соотношение (151), находим выражение для угла закручивания

Множитель, на который мы делим крутящий момент, чтобы получить закручивание на единицу длины, называется крутильной

жесткостью. Обозначим эту величину через С; тогда из (156) для эллиптического поперечного сечения

где

— соответственно площадь и центральный полярный момент инерции сечения.

Имея компоненты напряжений (154), мы мбжем легко получить перемещения. Компоненты определяются формулами (а) из § 104. Перемещение находится из соотношений (г) и (б) из § 104. Подставляя в эти соотношения значения компонент напряжений (154) и угла закручивания (156) и интегрируя их, находим

Рис. 154.

Это показывает, что для искаженного поперечного сечения горизонтали являются гиперболами, имеющими в качестве асимптот главные оси эллипса (рис. 154).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление