Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Плоская деформация

Подобные упрощения возможны и в другом предельном случае, когда размер тела в направлении оси z очень велик. Если длинное цилиндрическое или призматическое тело нагружается силами, которые перпендикулярны продольной оси тела и не меняются по его длине, можно считать, что все поперечные сечения находятся в одних и тех же условиях. Проще всего для начала предположить, что концевые сечения ограничены фиксированными гладкими абсолютно жесткими плоскостями, которые препятствуют перемещениям в продольном направлении. Эффект удаления этих плоскостей мы разберем позже. Поскольку нет

осевых перемещений на концах, а в силу симметрии их нет и в среднем сечении, можно предположить, что то же самое справедливо и для любого поперечного сечения.

Существует много важных задач такого рода; например, для подпорной стенки под действием поперечного давления (рис. 9), трубопровода или туннеля (рис. 10), цилиндрической трубы под действием внутреннего давления, цилиндрического ролика, сжимаемого силами в диаметральной плоскости, как это имеет место в роликоподшипнике (рис. 11).

Рис. 9.

Рис. 10.

Рис. 11.

В любом случае, конечно, нагрузка не должна изменяться по длине тела. Поскольку в каждом поперечном сечении условия одинаковы, достаточно рассмотреть тонкий слой между двумя сечениями, расстояние между которыми равно единице. Компоненты перемещений и и являются функциями х и у, но не зависят от продольной координаты Поскольку продольные перемещения равны нулю, уравнения (2) дают

Продольные нормальные напряжения можно выразить из уравнений (3) через а и с помощью закона Гука. В силу того, что получаем

или

Эти нормальные напряжения действуют по всем поперечным сечениям, включая концевые, где они представляют собой силы,

необходимые для поддержания плоской деформации и производимые фиксированными гладкими абсолютно жесткими плоскостями.

Согласно уравнениям (а) и (б) компоненты напряжений будут равны нулю, а согласно уравнению (б) напряжения можно определить, зная Следовательно, задача о плоской деформации, как и задача о плоском напряженном состоянии, сводится к определению компонент напряжений как функций .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление