Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 122. Круглое поперечное сечение

Пусть контур поперечного сечения определяется уравнением

Правая часть граничного условия (183) становится равной нулю, если принять

Подставив это выражение в уравнение (182), получим для функции уравнение

с условием на контуре. Таким образом, функция напряжения определяется прогибами мембраны с круговым контуром радиуса равномерно растянутой и нагруженной поперечной нагрузкой, интенсивность которой пропорциональна

Легко убедиться, что уравнение (в) и граничное условие в этом случае удовлетворяются, если положить

где — постоянный множитель. Эта функция равна нулю на контуре (а) и будет удовлетворять уравнению (в), если

Равенство (г) тогда принимает вид

Затем по формулам (181) определяются компоненты напряжения

Вертикальная компонента касательного напряжения является четной функцией координат х и у, а горизонтальная компонента нечетной функцией тех же переменных. В силу этого распределение напряжений (184) дает результирующую, направленную вдоль вертикального диаметра кругового поперечного сечения.

Вдоль горизонтального диаметра поперечного сечения имеем отсюда с помощью (184) находим

Максимальное касательное напряжение получается в центре где

Касательное напряжение по концам горизонтального диаметра равно

Легко видеть, что величина касательного напряжения зависит от коэффициента Пуассона. Если принять то формулы примут вид

где А — площадь поперечного сечения бруса. Элементарная теория изгиба, основанная на допущении, что касательные напряжения равномерно распределены вдоль горизонтального диаметра поперечного сечения, дает

Погрешность элементарного решения в определении максимального напряжения составляет, таким образом, около 4%.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление