Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 125. Дополнительные результаты

Рассмотрим поперечное сечение, граница которого состоит из двух вертикальных сторон (рис. 192) и двух гипербол

Рис. 192.

Легко показать, что правая часть уравнения (183) обращается на контуре в нуль, если принять

Подставляя это выражение в уравнение (182), находим

Это уравнение и граничное условие (183) удовлетворяются, если положить Тогда компоненты касательного напряжения, согласно формулам (181), равны

В каждой точке поперечного сечения полное касательное напряжение направлено по вертикали. Это напряжение достигает максимума посередине вертикальных сторон поперечного сечения и определяется формулой

Задачу можно также решить, если контур поперечного сечения определяется уравнением

При этот контур имеет вид, изображенный на рис. 193. Если принять

То левая часть граничного условия (183) обращается в нуль; таким образом, вдоль границы функция должна быть постоянной. Уравнение (182)

принимает вид

Это уравнение и граничное условие удовлетворяются, если положить

Подставляя это выражение в формулы (181), находим

К тому же результату можно прийти и другим путем. При исследовании напряжений в прямоугольной балке, ширина которой велика по сравнению с высотой, мы использовали в качестве приближенного решения для функции напряжений (уравнение (ж) § 124) выражение

из которого можно вывести выражения (в) для компонент напряжения.

Уравнение контура можно найти из условия, что на границе касательное напряжение совпадает по направлению с касательной к контуру. Отсюда

Рис. 193.

Рис. 194.

Подставляя сюда значения напряжений из (в) и интегрируя полученное дифференциальное уравнение, приходим к следующему уравнению контура:

Используя энергетический метод (§ 124), можно прийти к приближенному решению для многих других случаев. Рассмотрим, например, поперечное сечение, показанное на рис. 194. Вертикальные стороны контура определяются уравнением а две другие стороны являются дугами окружности

Правая часть уравнения (183) обращается в нуль, если

Тогда приближенное выражение для функции напряжений примет вид

где коэффициенты А, В, ... подлежат определению из условия минимума потенциальной энергии.

Для многих форм поперечных сечений решения были получены с использованием полярных и других криволинейных координат и функций комплексной переменной. Сюда входяг задачи для сечений, ограниченных двумя окружностями, концентрическими и неконцентрическими, окружностью с

радиальной щелью, кардиоидой, улиткой Паскаля, эллиптической улиткой Паскаля, двумя софокусными эллипсами, эллипсом и софокусными гиперболами, треугольниками и многоугольниками, включая прямоугольник со щелью и сектором кругового кольца.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление