Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 126. Несимметричные поперечные сечения

В качестве первого примера рассмотрим случай равнобедренного треугольника (рис. 195). Контур поперечного сечения в этом случае определяется уравнением

Правая часть уравнения (183) будет равна нулю, если взять

Рис. 195.

Уравнение (182) для определения функции напряжений тогда принимает вид

Приближенное решение можно получить, используя энергетический метод. В частном случае, когда

точное решение уравнения (а) получается, если взять функцию напряжений в виде

Согласно формулам (181) получаем в этом случае компоненты напряжения

Вдоль оси у имеем результирующее касательное напряжение направлено

по вертикали и выражается линейной функцией

Максимальное значение этого напряжения достигается на середине вертикальной стороны сечения и выражается формулой

Определив момент относительно оси z от касательных усилий, задаваемых напряжениями (в), можно показать, что в этом случае результирующая поперечной силы проходит через центр тяжести С поперечного сечения.

Рассмотрим теперь более общий случай поперечного сечения с горизонтальной осью симметрии (рис. 196), для которого верхняя и нижние части контура определяются уравнениями

Тогда функция

обращается в нуль вдоль границы сечения, и в наших выражениях для компонент напряжения (181) можно принять

При таких предпосылках функция напряжений должна удовлетворять дифференциальному уравнению

и быть постоянной на границе.

Рис. 196.

Рис. 197.

Дело сводится, таким образом, к отысканию прогибов равномерно растянутой мембраны, когда интенсивность нагрузки определяется правой частью записанного выше уравнения. Эту последнюю задачу можно обычно решить с достаточной точностью, используя энергетический метод, как было показано в случае прямоугольного поперечного сечения (стр. 365).

Подобным методом можно рассмотреть и случай, показанный на рис. 197. Допустим, например, что поперечное сечение представляет собой сегмент параболы и что уравнение параболы имеет вид

В этом случае принимаем

При таком выражении для первый сомножитель в правой части уравнения (183) вдоль параболической части контура обращается в нуль. Множитель обращается в нуль вдоль прямолинейной части границы. Таким образом, мы снова получаем, что функция напряжений на границе постоянна и задачу можно рассмотреть с помощью энергетического метода.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление