Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 170. Поверхностные волны Рэлея

В §§ 166, 167 распространение возмущений в изотропной однородной среде, подчиняющейся закону Гука, представлялось с помощью суперпозиции волн, имеющих скорость и эквиволю-минальных волн, имеющих скоростьса. Если начальное возмущение ограничено конечной областью внутри тела, величины являются единственно возможными скоростями распространения волн в бесконечной среде даже в тех случаях, когда на фронтах волн имеются разрывы скоростей частиц.

Когда существуют свободные границы (или поверхности раздела между двумя средами), возможны и другие скорости распространения. При этом могут появляться «поверхностные волны», при которых движение происходит по существу лишь в тонком слое. Они подобны кругам. на гладкой поверхности жидкости, вызываемым брошенным в нее камнем, и тесно связаны с поверхностным эффектом в проводниках, по которым течет переменный ток высокой частоты. Рэлей, впервые обнаруживший существование поверхностно-волновых решений общих уравнений, заметил: «Не исключена возможность, что рассмотренные здесь поверхностные волны играют важную роль при землетрясениях и при соударении упругих тел. Распространяясь только в двух направлениях, они должны с удалением от источника приобретать все большее значение». Изучение записей сейсмических волн подтверждает предположение Рэлея.

На большом расстоянии от источника деформации, вызываемые такими волнами, можно считать двумерными. Предположим, что тело ограничено плоскостью и будем считать положительным направление оси у внутрь тела, а оси сторону распространения волн. Выражения для перемещений получаются путем комбинирования волн расширения (уравнения (271)) и волн искажения (уравнения (270)). Считая в обоих случаях, что решение уравнений (271), представляющих волны расширения, можно принять в виде

где и — постоянные. Экспоненциальный множитель в этих выражениях показывает, что при действительных положительных

значениях амплитуда волн быстро уменьшается с возрастанием глубины у. Аргумент тригонометрических функций показывает, что волны распространяются в направлении х со скоростью

Подставляя выражения (а) в уравнения (271), находим, что эти уравнения будут удовлетворены при

Используя обозначение

получаем

Возьмем решения уравнений (270), представляющих волны искажения, в виде

где — постоянная, некоторое положительное число. Можно показать, что объемное расширение, соответствующее перемещениям (г), равно нулю и что уравнения (270) удовлетворяются, если принять

Используя обозначение

получаем

Комбинируя решения (а) и (г) и полагая определим теперь постоянные таким образом, чтобы были удовлетворены граничные условия. Граница тела свободна от внешних нагрузок; следовательно, при имеем Подставляя эти значения в уравнения (130) и принимая получаем

Уравнения (ж) записаны для свободной границы тела. Первое из них показывает, что равны нулю касательные напряжения, а второе, — что равны нулю нормальные напряжения. Подставляя в эти уравнения полученные выше выражения для

находим

где, согласно (б) и (д),

Исключая из уравнений (и) постоянную А и используя соотношения (в) и (е), получаем

или, с учетом (б) и (е),

Используя уравнения (б), (д) и (281), можно все величины, входящие в это уравнение, выразить через скорости волн расширения волн искажения и поверхностных волн в результате будем иметь

Используя обозначение

и учитывая, что

уравнению можно придать вид

Полагая, например, получаем

или

Три корня этого уравнения имеют вид

Из этих трех корней только последний удовлетворяет условию, что величины определяемые уравнениями (в) и (е), являются положительными числами. Отсюда

В предельном случае уравнение (м) принимает вид и мы находим

В обоих случаях скорость поверхностных волн оказывается несколько меньшей, чем скорость распространения волн искажения. Имея а, можно найти отношение амплитуд горизонтального и вертикального перемещений на поверхности тела. При это отношение равно 0,681. Полученную выше скорость распространения поверхностных волн можно также получить из рассмотрения колебаний тела, ограниченного двумя параллельными плоскостями

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление