Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 171. Волны со сферической симметрией в бесконечной среде

Возмущения типа симметричного взрыва внутри сферической полости излучают волны или импульсы, которые также обладают сферической симметрией. Перемещения при этом будут чисто радиальными. Перемещения и являются функцией сферической радиальной координаты и времени В силу симметрии эти деформации являются безвихревыми, и следовательно, мы будем иметь дело только с одной скоростью распространения (см. (273) или (277)).

Рис. 250.

Дифференциальное уравнение для и легко найти путем рассмотрения типичного элемента объема, определяемого четырьмя радиусами, как показано на рис. 250, т. е. малого «сферического квадрата» с радиальной толщиной Динамическое уравнение для радиального движения в этом случае имеет вид

Компоненты деформации определяются формулами

а закон Гука дает

Внося эти значения в уравнение (а), находим

Введем функцию аналогично тому, как это сделано в § 166 следующей формулой:

Тогда (как легко проверить, выполняя дифференцирование в левой части) получим, что уравнение (г) эквивалентно следующему:

Отсюда

где — произвольная функция. Если она не равна нулю, то мы можем найти частное решение уравнения (ж), которое также является функцией только одной переменной скажем, Однако это не внесет никакого вклада в перемещение (д). Таким образом, функцию можно положить равной нулю. Умножая уравнение (ж) на получаем

Сравнение с уравнением (275) и его решением (276) показывает, что общее решение уравнения (е) определяется выражением

Интерпретация этого выражения подобна той, которая использовалась для формулы (276). Функция представляет исходящую из начала координат волну, а функция волну, приходящую в начало координат. Первая из них удобна для исследования задачи о взрыве в полости тела. Последняя пригодна для решения задачи о взрыве на внешней границе тела. Примером последнего служит распространение волны, сходящейся к центру сплошного шара конечных размеров после внезапного приложения давления на всей его внешней поверхности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление