Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Блочная и групповая релаксации

До сих пор операция ликвидации невязок состояла в манипулировании одиночными узловыми точками, тогда как остальные точки считались фиксированными. Иногда лучше смещать одновременно целую группу узловых точек. Допустим, например, что рис. 12 представляет часть квадратной сетки и что мы придали всем точкам, расположенным внутри заштрихованной площади, перемещение, равное единице, тогда как все остальные узловые точки остались фиксированными.

Рис. 12.

Мы можем вообразить, что все узловые точки заштрихованной области связаны с абсолютно жесткой невесомой плитой и что плите придано единичное перемещение в направлении, ортогональном ее плоскости. Из условий равновесия (рис. 6) заключаем, что описанное перемещение вызовет изменения невязок в концевых точках нитей, соединяющих заштрихованную часть пластинки с остальной частью сетки. Если через 0 и 1 обозначить узлы по концам одной нити, то вклад в невязки, вызванный перемещениями составит

Если теперь зафиксировать узел и придать углу 0 дополнительное перемещение то получим следующие приращения остаточных усилий:

Вводя в соответствии с нашими прежними обозначениями безразмерные величины

находим

Мы видим, что единичное приращение вызывает изменения в цевязках, равные

Эти изменения показаны на рисунке. Невязки в остальных узловых точках сетки останутся прежними. Если через

обозначить число нитей, связывающих заштрихованную плиту с остальной частью сетки, то единичное перемещение плиты приводит к уменьшению на результирующей невязочных усилий в остальной части сетки. Выбирая перемещения таким образом, чтобы эта результирующая обращалась в нуль, получаем остаточные усилия, которые в силу своей самоуравновешенности лучше поддаются устранению с помощью последующей точечной релаксации обычного вида. В практических приложениях бывает полезно перемежать последовательности блочных перемещений с последовательностями точечной релаксации. Допустим, например, что заштрихованная площадь на рис. 13 представляет часть треугольной сетки. Число нитей соединяющих эту часть с остальной сеткой, равно 16, а результирующая невязок, показанная на рисунке, равна 8,8. Следовательно, соответствующее блочное перемещение в этом случае будет равно После такого перемещения результирующая остаточных усилий, действующих на заштрихованную часть сетки, обращается в нуль, и устранение невязок при последующей точечной релаксации происходит быстрее.

Рис. 13.

Вместо придания фиктивной плите перемещения, ортогонального плоскости этой плиты и постоянного для всех узловых точек плиты, мы можем вращать плиту относительно оси, лежащей в ее срединной плоскости. Соответствующие перемещения узловых точек и изменения невязок можно легко вычислить. Таким путем мы можем устранить не только результирующее остаточное усилие, воспринимаемое фиктивной плитой, но и результирующий невязочный момент относительно любой оси, выбранной в плоскости плиты.

Мы можем также отказаться от понятия фиктивной плиты и придать произвольно выбранные перемещения группе узловых точек. Если у нас имеется некоторое представление о форме изогнутой поверхности сетки, то мы можем выбрать групповые перемещения таким образом, чтобы ускорить процесс устранения невязок.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление