Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Кручение стержней с многосвязными поперечными сечениями

Мы видели, что в случае стержней с многосвязными поперечными сечениями функция напряжений должна не только удовлетворять уравнению (4), но также удовлетворять вдоль

контура каждого отверстия уравнению

где А — площадь отверстия.

При использовании мембранной аналогии соответствующее соотношение имеет вид

Это означает, что нагрузка, равномерно распределенная по площади отверстия, уравновешивается растягивающими усилиями в мембране. Теперь, применяя конечно-разностные уравнения и квадратную сетку, обозначим через растягивающее усилие в нити, через — прогиб границы отверстия и через - прогиб узловой точки смежной с отверствием. Вместо (31) тогда будем иметь

или

где — число нитей, соединяющих площадь отверстия с остальной частью сетки. Уравнение равновесия (II) является лишь частным случаем уравнения (32), в котором

Рис. 14.

Мы можем записать столько уравнений типа (32), сколько имеется отверстий в поверочном сечении. Эти уравнения вместе с уравнениями (11), записанными для каждой точки квадратной сетки, достаточны для определения прогибов всех узловых точек сетки и всех границ отверстий.

Рассмотрим в качестве примера случай квадратной трубы, поперечное сечение которой представлено на рис. 14. Принимая грубую квадратную сетку, показанную на рисунке, и учитывая условия симметрии, замечаем, что в этом случае нужно определить только пять значений функции напряжений . Необходимые уравнения получаются с помощью уравнения (32) и четырех уравнений (11), записанных для узловых точек Подставляя вместо и учитывая, что

запишем эти уравнения в следующем виде:

Эти уравнения легко решить, откуда находим

а также значения а, b, с и d.

Эти значения, полученные с помощью весьма грубой сетки, не дают достаточно точных величин напряжений: необходим переход к более мелкой сетке. Результаты таких более точных вычислений можно найти в книге Саусвелла.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление