Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 31. Перемещения при симметричных полях напряжений

Подставляя в первое уравнение (51) компоненты напряжения из уравнений (42), находим

После интегрирования получаем

где -функция лишь одной переменной 0. Из второго уравнения (51), используя (49), находим

Отсюда после интегрирования получаем

где — функция лишь одной переменной Подставляя выражения (а) и (б) в (50) и замечая, что равна нулю, поскольку равно нулю находим

откуда

где — постоянные, которые должны определяться из условий закрепления криволинейного стержня или кольца.

Подставляя выражения (г) в (а) и (б), получаем следующие формулы для перемещений:

где для каждого частного случая следует подставлять свои значения постоянных А, В и С. Рассмотрим, например, чистый изгиб. Считая центр тяжести поперечного сечения, от которого отсчитывается угол (рис. 42), а также элемент радиуса в этой точке жестко фиксированными, можно представить условия закрепления бруса в виде

Подставляя сюда выражения для перемещений (52), получаем следующие уравнения для определения постоянных интегрирования и К

Отсюда следует, что и для перемещения получаем

Это означает, что перемещение любого поперечного сечения складывается из поступательного перемещения —К одинакового для всех точек сечения, и поворота поперечного сечения на угол относительно центра кривизны О (рис. 42). Мы видим, что при чистом изгибе поперечные сечения остаются плоскими, как это обычно и предполагается в элементарной теории изгиба криволинейных стержней.

При исследовании симметричного распределения напряжений в сплошном кольце (стр. 86) постоянная В в общем решении (42) принималась равной нулю, и таким путем мы пришли к задаче Ламе. Теперь же, после получения выражений (52) для перемещений, становится понятным, какой смысл имеет предположение о том, что постоянная В равна нулю. Постоянная В является сомножителем в члене входящем в выражение для перемещения Этот член неоднозначен; он меняется при

увеличении на т. е. при возвращении к данной точке после полного оборота по кольцу. Такое многозначное выражение для перемещения физически невозможно в сплошном кольце, поэтому для данного случая нам следует положить в общем решении (42).

Кольцо служит примером многосвязного тела, т. е. такого тела, в котором некоторые сечения можно провести без разделения тела на две части. Для полного определения поля напряжений в таких телах недостаточно задания граничных условий в напряжениях, и должны рассматриваться дополнительные уравнения, представляющие собой условия однозначности перемещений (см. §§ 34, 43)).

Рис. 45.

Физический смысл многозначных решений можно разъяснить, рассматривая начальные напряжения в многосвязном теле. Если вырезать часть кольца двумя смежными поперечными сечениями (рис. 45) и соединить концы кольца с помощью сварки или каким-либо иным методом, то получится кольцо с начальными напряжениями, т. е. в кольце возникнут напряжения, несмотря на отсутствие внешней нагрузки. Если а — малый угол, определяющий вырезанную часть кольца, то кольцевое перемещение, необходимое для того, чтобы соединить вместе концы кольца, равно

То же перемещение, получаемое из уравнения (63), если положить составляет

Из (д) и (е) получаем

Постоянная В, входящая в многозначный член выражения для перемещения (53), имеет теперь определенное значение в зависимости от способа, с помощью которого в кольце образуются начальные напряжения. Подставляя (ж) в уравнение (е) из § 29, находим, что изгибающий момент, необходимый для того, чтобы свести вместе концы кольца (рис. 45), равен

Отсюда, используя решение (47) для случая чистого изгиба, легко вычислить начальные напряжения в кольце.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление