Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 38. Сила, действующая на острие клина

Простое радиальное распределение напряжений, рассмотренное в § 36, может также использоваться для представления напряжений в клине под действием сосредоточенной силы в его вершине. Рассмотрим симметричный случай, показанный на рис. 63. Толщина клина в направлении, перпендикулярном плоскости принимается равной единице. Условия вдоль граней клина (т. е. при ) удовлетворяются, если для компонент напряжений принять значения

Рис. 63.

Постоянную подберем теперь таким образом, чтобы удовлетворить условиям равновесия в точке О. Приравнивая результирующую давления на цилиндрической поверхности (показанной на рис. 63 пунктиром) силе — Р, получаем

откуда

Далее, в соответствии с выражениями имеем

Полагая приходим к ранее рассмотренному решению (65) для полубесконечной пластинки. Можно видеть, что распределение нормальных напряжений по поперечному сечению неравномерно и что отношение нормального напряжения в точках или к максимальному напряжению в центре поперечного сечения равно .

Если приложенная сила перпендикулярна к оси клина (рис. 64), можно использовать то же решение (а), измеряя угол от направления силы. Постоянный множитель определится из

уравнения равновесия

откуда

Следовательно, радиальные напряжения

Нормальные и касательные напряжения в любом поперечном сечении находятся из формул

В случае малого угла а можно положить

Затем, обозначая момент инерции поперечного сечения через из формул (б) находим

Рис. 64.

Для малых значений множитель можно считать приблизительно равным единице. Тогда выражение для совпадает с формулой элементарной теории балок.

Максимальное касательное напряжение действует в точках и вдвое больше того, которое дает элементарная теория для центра тяжести прямоугольного поперечного сечения балки.

Поскольку мы имеем решения для двух случаев, представленных на рис. 63 и 64, то тем самым мы можем получить решение для произвольного направления силы Р в плоскости разлагая эту силу на две составляющие и используя метод суперпозиции. Следует отметить, что решения (72) и (73) являются точными лишь в том случае, если на закрепленном конце

клин удерживается радиально направленными силами, распределенными так, как это предусматривается решением. Если это не так, то решения будут точными лишь для точек, достаточно удаленных от закрепленного конца.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление