Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 42. Сила, действующая в точке бесконечной пластинки

Если сила Р действует в срединной плоскости бесконечной пластинки (рис. 79, а), то распределение напряжений можно легко получить путем наложения только что рассмотренных систем. Мы не можем, однако, построить решение путем простого наложения двух решений для полубесконечной пластинки, как показано на рис. 79, б и в. Хотя вертикальные перемещения в обоих случаях будут одними и теми же, горизонтальные

перемещения вдоль границ будут различаться. В то время как для случая, изображенного на рис. 79, б, это перемещение направлено от точки О, в случае 79, в оно направлено к точке О. Величина этих перемещений в обоих случаях, согласно уравнениям (70), равна

Эту разницу в горизонтальном перемещении можно ликвидировать, комбинируя случаи 79, б и в со случаями 79, г и д, в которых вдоль прямолинейных границ действуют касательные усилия.

Перемещения для этих последних случаев можно получить из решения задачи об изгибе кривого бруса, изображенного на рис. 46.

Устремляя внутренний радиус этого стержня к нулю, а внешний — к бесконечности, приходим к случаю полубесконечной пластинки. Перемещение вдоль прямолинейного края пластинки в направлении касательной силы, действующей на границе, согласно равенству (60) равно

Рис. 79.

Постоянную интегрирования D нужно подобрать таким образом, чтобы обратить в нуль перемещения, получающиеся из (а) и (б). Тогда

При таком подборе, в результате наложения случаев 79, б, в, г и е, приходим к решению для бесконечной пластинки, нагруженной в точке (рис. 79, а).

Поле напряжений в пластинке теперь легко получить путем суперпозиции напряжений в полубесконечной пластинке, вызванных нормальной силой приложенной на границе (см. § 36) на напряжения в кривом брусе, формулы для которых содержат постоянную интегрирования Учитывая различие в отсчете угла на рис. 46 и 79 и используя равенства (59), получаем следующие формулы для определения напряжений в криволинейном стержне (отсчет угла производится согласно

рис. 79):

Комбинируя эти напряжения с напряжениями, определяемыми формулами (65) для случая нагрузки получаем следующее распределение напряжений в бесконечной пластинке:

Вырезая из пластинки у точки О (рис. 79, а) малый элемент, ограниченный цилиндрической поверхностью радиуса и проектируя силы, действующие на цилиндрическую границу элемента на оси х и у, получаем

Таким образом усилия, действующие на границе цилиндрического элемента, представляют нагрузку Р, приложенную в точке О. Используя уравнения (13) в декартовых координатах, можно найти из (75) компоненты напряжений в виде

Из решения (76) для одной сосредоточенной силы, можно с помощью суперпозиции найти решения для других видов нагружения. Рассмотрим, например, случай (рис. 80), когда две равные по величине и противоположные по знаку силы действуют на бесконечную пластинку в точках О и находящихся на очень малом расстоянии друг от друга. Напряжения в любой точке М получаются с помощью суперпозиции напряжений, вызываемых силой в точке и напряжения, вызываемых другой силой в точке О. Рассматривая, например, элемент в точке М, перпендикулярный оси х, и обозначая через нормальное

напряжение, вызываемое в этом элементе силой в точке О, получаем, что нормальное напряжение вызываемое совместным действием обоих сил, показанных на этом рисунке, равно

Таким образом, компоненты напряжений для случая, изображенного на рис. 80, получаются из уравнений (76) путем дифференцирования. Отсюда получаем

Можно видеть, что с ростом компоненты напряжений быстро убывают, и ими можно пренебречь, если велико по сравнению с

Рис. 80.

Рис. 81.

Такой результат следует ожидать в соответствии с принципом Сен-Венана, если мы имеем случай двух уравновешенных и приложенных очень близко друг к другу сил.

Налагая два поля напряжений, определяемые равенствами (77), мы получаем решение задачи, показанной на рис. 81. Компоненты напряжений для этого случая имеют вид

То же распределение напряжений в полярных координатах выражается формулами

Это решение можно согласовать с решением (45) для толстостенного цилиндра, находящегося под действием внутреннего давления, если внешний диаметр цилиндра устремить к бесконечности.

Таким же путем можно получить решения и для случая, изображенного на рис. 82, а. Компоненты напряжений имеют вид

Они представляют напряжения, вызываемые моментом М, приложенным в начале координат (рис. 82, б).

Если вместо бесконечной пластинки мы рассмотрим бесконечно длинную полосу, подвергнутую действию продольной силы Р (рис. 83), то можно исходить из решения (76), принимая вначале, что пластинка бесконечна во всех направлениях.

Рис. 82.

Рис. 83.

Напряжения вдоль краев полосы, которые возникают в результате этого, можно снять, накладывая системы равных и противоположных по знаку усилий. Напряжения, создаваемые этой корректирующей системой усилий, можно определить, используя общий метод, описанный в § 24. Вычисления, проделанные Хаулэндом, показывают, что местные напряжения, вызываемые сосредоточенной силой Р, быстро убывают с ростом расстояния от точки приложения нагрузки, и на расстояниях, больших ширины полосы, распределение напряжений по поперечному сечению практически постоянно. В приведенной ниже табл. 3 даны некоторые значения напряжений вычисленные в предположении, что полоса закреплена на конце и коэффициент Пуассона равен 1/4.

Напряжения, производимые в полубесконечной пластинке силой, приложенной на некотором расстоянии от края, исследовал Мелан.

ТАБЛИЦА 3. (см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление