Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 44. Приложения обобщенного решения в полярных координатах

В качестве первого приложения решения двумерной задачи в рядах в полярных координатах рассмотрим круглое кольцо, сжатое двумя равными и противоположно направленными силами, действующими вдоль диаметра (рис. 85, а).

Рис. 85.

Мы начнем с решения для сплошного диска (§ 41). Вырезав в этом диске концентрическое отверстие радиуса а, получим, что по краю отверстия

действуют распределенные нормальные и касательные усилия. Эти усилия можно снять путем наложения системы сил, равных по величине и противоположных по знаку. Эту последнюю систему можно представить с достаточной точностью, используя несколько первых членов ряда Фурье. Тогда соответствующие напряжения в кольце получаются при помощи общего решения, приведенного в предыдущем параграфе. Эти напряжения вместе с напряжениями, найденными для сплошного диска, и дают полные напряжения в кольце. Отношения найденные таким путем для различных точек поперечных сечений в случае даются в приведенной ниже табл. 4 1.

ТАБЛИЦА 4. (см. скан)

Для сравнения даются значения тех же напряжений, определенные по двум элементарным теориям, основанным на следующих допущениях: 1) поперечные сечения остаются плоскими, в силу чего нормальные напряжения в сечении следуют гиперболическому закону; 2) напряжения распределяются по линейному закону.

Таблица показывает, что для сечения которое находится на сравнительно большом расстоянии от точек приложения нагрузки Р, гиперболическое распределение напряжений дает результаты, весьма близкие к точным. Ошибка в величине максимального напряжения не превышает 3%. Для поперечного сечения ошибки приближенного решения намного больше. Интересно отметить, что результирующая нормальных напряжений, действующих по сечению равна Этого следовало ожидать, если вспомнить задачу о действии сосредоточенной нагрузки на клин, представленный на рис. 68, г.

Распределение нормальных напряжений по сечениям определенное тремя вышеописанными методами, показано на рис. 85, б и в. Метод, примененный выше для случая действия двух равных по величине и противоположных по направлению сил, можно использовать для общего случая нагружения круглого кольца сосредоточенными силами.

В качестве второго примера рассмотрим стержень с проушиной 2) рис. 86. Распределение давлений по краю отверстия зависит от величины зазора между болтом и краем отверстия. Приведенные далее результаты получены в предположении, что на внутренней и внешней границах действуют только нормальные давления:

Таким образом, давления распределены вдоль нижней половины внутреннего, края и верхней половины внешгего края проушины.

Рис. 86.

Рис. 87.

После разложения этих выражений в тригонометрические ряды, напряжения можно вычислить, используя общее решение (80) из предыдущего параграфа. Рис. 87 показывает значения отношения вычисленные для поперечных сечений и при Следует отметить, что в этом случае

результирующая усилий, действующих на каждой границе, не обращается в нуль; следовательно распределение напряжений зависит от упругих констант материала. Приведенные выше вычисления сделаны при коэффициенте Пуассона, равном

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление