Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 55. Аналитические функции и уравнение Лапласа

Аналитическую функцию можно рассматривать как функцию от х и у обладающую частными производными. Отсюда

поскольку Аналогично

поскольку

Если представить в форме то получим

Сравнивая равенства (в) и (а), получаем

Замечая, что - действительные числа и что а также, что равенство (г) требует равенства порознь его действительных и комплексных частей, находим

Мы получили уравнения Коши—Римана. Исключая путем дифференцирования первого уравнения по х, второго — по у и сложения получаемых равенств, будем иметь

Это уравнение называется уравнением Лапласа, а любое его решение называется гармонической функцией. Таким же образом, исключая а из уравнений (д), найдем

Следовательно, если две функции а и переменных х и у являются действительной и мнимой частями некоторой аналитической функции то каждая из них будет решением уравнения Лапласа. Уравнение Лапласа встречается во многих физических задачах, включая задачи теории упругости (см., например, уравнение (б) § 17).

Функции а и Р называются сопряженными гармоническими функциями. Ясно, что если дана некоторая гармоническая функция а, уравнения (д) будут с точностью до постоянной определять другую функцию которая является сопряженной по отношению к функции а.

В качестве примеров нахождения гармонических функций из аналитических функций z рассмотрим функции где — действительная постоянная. Получаем зависимость

показывающую, что - гармонические функции. Заменив на находим, что — также гармонические функции. Отсюда следует, что и функции

— гармонические функции, так как они представляют собой результат сложения и вычитания предыдущих функций с коэффициентами 1/2. Из соотношения

получаем гармонические функции

Из выражения

находим гармонические функции

Легко проверить, что функции (к) и (л) удовлетворяют уравнению Лапласа в полярных координатах (см. уравнение (ж), стр. 85), т. е.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление