Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 59. Результирующая напряжений, действующих по некоторой кривой. Граничные условия

На рис. 114, а показана дуга кривой проведенная на пластинке. Сила, действующая на элемент дуги, с которой материал слева от элемента действует на материал, расположенный справа от при переходе от А к В может быть представлена компонентами Тогда из уравнений (12) § 10 получаем

где а — угол между левосторонней (при движении от А к В) нормалью и осью x. Малой дуге как показано из рис. 114, б, соответствуют отрезки При следовании вдоль дуги в направлении значения х уменьшаются и отрицательно. Длина горизонтальной стороны элементарного треугольника (рис. 114, б) поэтому равна Таким образом,

Рис. 114.

Внося эти значения с учетом зависимостей

в уравнения (а), находим

Следовательно, компоненты результирующего усилия на дуге А В равны

где квадратная скобка означает разность значений заключенной в нее величины в точках А и В.

Усилие, действующее на дугу дает следующий момент в направлении часовой стрелки относительно точки О (см. (в)):

Здесь использованы уравнения (в). После интегрирования по частям получаем

Из уравнений (в) мы видим, что если кривая представляет собой ненагруженную границу, так что X и равны нулю, то производные вдоль должны иметь постоянные значения. Если на кривой заданы нагрузки, то уравнения (в) показывают, что они определяются с помощью значений вдоль границы. Это эквивалентно заданию производных вдоль границы и вдоль ноормали к Их можно считать известными, если вдоль заданы

Продолжим теперь дугу так, чтобы образовалась замкнутая кривая, и точка В совпала с точкой А. При этом будем считать, что точка В достигает А, двигаясь по дуге, т. е. по замкнутому контуру Тогда уравнения дают результирующее усилие и момент от напряжений, действующих на часть пластинки, ограниченную упомянутым замкнутым контуром.

С помощью комплексных потенциалов согласно (85), уравнения (г) можно записать в виде

Используя уравнение (в) § 58, имеем

Равенство (д) тогда принимает вид

В случае замкнутого контура, содержащего начало координат, равенства (90) и (91) показывают, что если принять в форме где — положительное или отрицательное целое число, то и М равны нулю, так как при обходе контура функции в скобках возвращаются к своим начальным значениям. Функция после обхода замкнутого контура, окружающего начало координат, не возвращается к своему начальному значению, поскольку при этом увеличивается на Таким образом, если или где С и комплексные постоянные, уравнение (90) дает ненулевое значение для Точно так же дает ненулевое значение М, если D — мнимое число, но оно же дает нулевое значение, если число D действительное.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление