Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 61. Компоненты напряжений в криволинейных координатах

Уравнения (86), (87) и (89) определяют декартовы компоненты перемещения и напряжения через комплексные потенциалы Когда используются криволинейные координаты, комплексные потенциалы можно считать функциями а выражается через уравнением типа (ж) § 60, определяющим криволинейные координаты. Таким образом, представление через не встречает затруднений. Однако обычно удобнее определить напряжения следующим образом:

— нормальная компонента напряжений на кривой

— нормальная компонента напряжений на кривой

— касательная компонента на обеих кривых.

Эти компоненты показаны на рис. Сравнивая этот рисунок и рис. 116 с рис. 12, мы видим, что соответствуют а и на рис. 12. Следовательно, можно использовать уравнения (13),

и таким образом мы получаем

Заменяя а на таким же путем находим

Отсюда легко получить следующие уравнения:

Множитель для криволинейных координат, определяемый уравнением можно найти из уравнения (н) § 60. С помощью этого множителя и сопряженной с ним функции, которую можно получить, заменяя на находим

откуда

Рис. 117.

Например, в рассматриваемых нами эллиптических координатах таким образом,

После того как определено значение уравнения (92) и (93) позволяют выразить через

Перемещение в криволинейных координатах определяется компонентой в направлении увеличения (рис. 116) и компонентой в направлении увеличения Если и и — суть декартовы компоненты перемещения, то получаем

откуда

Используя уравнение (86) при и уравнение (94), мы можем выразить и ил через если известны комплексные потенциалы.

Комбинируя уравнения (86), (87) и (89) с (92), (93) и (95), получаем следующие выражения для компонент напряжений и перемещения (последнее из них — с заменой на

Мы будем использовать эти уравнения при решении некоторых задач с криволинейными границами.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление