Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 64. Гиперболические границы. Вырезы

В § 60 было показано, что кривые в эллиптических координатах являются гиперболами, а в § 62 — что диапазон изменения для можно принять в пределах от 0 до , а для до

Рис. 119.

Пусть постоянное значение вдоль гиперболической дуги (рис. 119). Оно заключено в пределах между 0 и поскольку вдоль как х, так и у положительны. Вдоль другой половины этой ветви гиперболы значение равно а вдоль половины другой ветви равно а вдоль значение равно

Рассмотрим пластинку заключенную между этими гиперболическими границами, растягиваемую в направлении Для того чтобы в сечении шейки растягивающее напряжение было конечным, на бесконечности оно должно равняться нулю. Комплексные потенциалы, которые удовлетворяют этому, а также другим необходимым условиям симметрии относительно осей , кроме того, условию отсутствия напряжений на гиперболических границах, выражаются в виде

где А и В — действительные постоянные, Отсюда

Уравнение (90) из § 59 показывает, что гиперболическая граница будет свободна от напряжений, если функция

вдоль нее будет постоянна, или, что эквивалентно, если будет постоянной сопряженная функция. Эта сопряженная функция, согласно уравнениям (а) и (б), имеет вид

На гиперболе имеем в силу чего приведенное выражение принимает вид

Это выражение постоянно, если величина в скобках обращается в нуль. Таким образом,

Чтобы найти результирующую сил, передаваемых через шейку, можно применить равенство (90) § 59 к узкому сечению (рис. 119), или точнее — к нижней части эллипса заключенной между гиперболами На контуре этого эллипса равно равно и мы получаем из уравнений (90), (в) и (г)

Поскольку считаются действительными величинами, функция равна нулю, и использование уравнения (д) приводит к зависимости

которая служит для определения А, если задано полное усилие Компоненты напряжения и перемещения легко найти из уравнений (96), (97) и (98). Первое из них дает

Значение вдоль гиперболической границы можно найти, если положить в этом выражении Оно достигает максимума, равного в наиболее узком месте, где Нейбер

выразил это максимальное значение через радиус кривизны гиперболы в наиболее узком месте шейки. Он же решил с помощью другого метода соответствующие задачи об изгибе и сдвиге, а также растяжении пластинки.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление