Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 68. Формулы для комплексных потенциалов

Нашей целью сейчас является отыскание потенциалов удовлетворяющих граничным условиям (101) для любой внешней точки единичного круга.

Здесь координата выбирается однажды и затем фиксируется. Далее уравнение (101) умножается на Каждый член после этого остается некоторой функцией от а и может быть проинтегрирован по единичной окружности, обозначаемой далее через Отсюда

Значение этого шага состоит в том, что он устанавливает связь с интегралами такого рода, используемыми в хорошо известной интегральной теореме Коши—Гурса и интегральной формуле Коши. Согласно этим теоремам (приводимым ниже в § 70) первый интеграл в (102) определяется следующим образом:

если функция является аналитической в каждой точке вне , включая точки на бесконечности. Значения на у должны сохранять непрерывность при переходе к значениям вне единичного круга. Третий интеграл в (102), как можно показать, обращается в нуль, если функция является аналитической в любой точке вне у, включая точки на бесконечности. Кроме того, функция должна быть непрерывной при переходе к Второй интеграл в (102) можно вычислить, если является рациональной функцией, т. е. отношением двух полиномов. Для частного случая, который рассматривается для иллюстрации в § 71, этот интеграл равен нулю, и уравнение (102) дает выражение для в виде

Уравнение (102) также ведет к подобной формуле для как мы увидим позже (§ 72).

Требование, чтобы функции были аналитическими вне у, накладывает некоторые ограничения на типы задач, которые можно решать этим методом. Сейчас мы рассмотрим эти ограничения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление