Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 75. Главные напряжения

Рассмотрим теперь нормальную компоненту напряжения действующего на площадке (рис. 126). Используя обозначения (а) § 74 для направляющих косинусов, находим, что

или, после подстановки значений X, Y, Z из уравнений (108),

Изменение в зависимости от направления нормали можно представить геометрически следующим образом. Придадим направление вектору, длина которого обратно пропорциональна квадратному корню из абсолютного значения напряжения т. е. для которого

где — постоянный коэффициент. Координаты конца этого вектора выразятся формулами

Подставляя в уравнение (109), согласно соотношению (б),

а также, согласно формулам (в), значения находим

При вращении плоскости вокруг точки О конец вектора всегда лежит на поверхности второго порядка, определяемой уравнением (110).

Хорошо известно, что для поверхности второго порядка, определяемой уравнением (110), всегда можно направить оси так, чтобы обратились в нуль члены, содержащие произведения координат. Это означает, что мы всегда можем найти три такие перпендикулярные плоскости, для которых туг, обращаются в нуль. Таким образом, результирующие напряжения на этих плоскостях будут перпендикулярны площадкам, на которых они действуют. Мы назовем эти напряжения главными

напряжениями, их направления — главными направлениями, а площадки, по которым они действуют, — главными площадками. Можно видеть, что эти напряжения полностью определены в любой точке, если заданы направления главных осей и величины трех главных напряжений. Поверхность, определяемая уравнением (110), должна быть одной и той же независимо от выбора осей

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление