Главная > Физика > Теория упругости (Тимошенко С. П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 89. Принцип суперпозиции

Решение задачи для конкретного упругого тела с заданными поверхностными и объемными силами требует определения компонент напряжений или перемещений, которые удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям и граничным условиям. Бели в качестве основных неизвестных выбраны компоненты напряжения, то следует удовлетворить: 1) уравнениям равновесия (123), 2) условиям совместности (125) и 3) граничным условиям (124). Обозначим через напряжения, вызванные поверхностными силами X, Y, Z и массовыми силами X, Y, Z.

Пусть - компоненты напряжения в том же упругом теле, вызванные поверхностными силами X, Y, Z и объемными силами X, Y, Z. Тогда компоненты напряжения будет представлять напряжения, вызванные поверхностными силами и объемными силами Это положение справедливо вследствие того, что все дифференциальные уравнения и граничные условия линейны. Следовательно, складывая первое из уравнений (123) с соответствующим уравнением

находим

Подобным образом из первого граничного условия (124) и его аналога путем сложения получаем

Таким же путем можно получить и условия совместности. Эта полная система уравнений показывает, что удовлетворяют всем уравнениям и граничным условиям, определяющим напряжения, вызванные усилиями . Этот факт является примером применения принципа суперпозиции. Его легко распространить на другие виды граничных условий, например на заданные перемещения.

При выводе уравнений равновесия (123) и граничных условий (124) мы не делали различия между положением и формой элемента до и после нагружения. Как следствие, полученные уравнения (и соответственно сделанные из них выводы) справедливы только до тех пор, пока малые перемещения при деформировании не влияют существенно на действие внешних сил. Однако в ряде случаев деформацию приходится принимать во внимание. Тогда приведенный выше принцип суперпозиции теряет силу. Примером такого рода является балка, испытывающая одновременное действие продольной и поперечной нагрузки. Много других примеров появляется в связи с исследованиями устойчивости тонкостенных конструкций.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление