Главная > Физика > Физика для углубленного изучения 1. Механика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 14. Относительность механического движения

В самом начале изучения механического движения подчеркивался его относительный характер. Движение можно рассматривать в разных системах отсчета. Конкретный выбор системы отсчета диктуется соображениями удобства: ее следует выбирать так, чтобы изучаемое движение и его закономерности выглядели как можно проще.

Движение в разных системах отсчета. Для перехода от одной системы отсчета к другой необходимо знать, какие характеристики движения остаются неизменными, а какие при таком переходе изменяются и каким образом.

Начнем со времени. Опыт показывает, что, пока речь идет о движениях, происходящих со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света, время «течет» одинаково во всех системах отсчета и в этом смысле может считаться абсолютным. Это значит, что промежуток времени между двумя событиями одинаков при его измерении в любой системе отсчета.

Перейдем к пространственным характеристикам. Положение частицы, определяемое ее радиусом-вектором изменяется при переходе к другой системе отсчета. Однако относительное пространственное расположение двух событий при этом не меняется и в этом смысле является абсолютным. Например, от выбора системы отсчета не зависят относительное положение двух частиц в какой-то один момент времени, задаваемое разностью их радиусов-векторов пространственные размеры твердых тел и т. п.

Таким образом, согласно классическим представлениям нерелятивистской физики промежутки времени и пространственные расстояния между одновременными событиями абсолютны. Эти представления, как выяснилось после создания теории относительности, справедливы лишь при сравнительно медленных движениях систем отсчета. В теории относительности представления о пространстве и времени претерпели существенные изменения. Однако новые релятивистские представления, пришедшие на смену классическим, переходят в них в предельном случае медленных движений.

Рассмотрим теперь изменение скорости движения частицы при переходе от одной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой. Вопрос этот тесно связан с принципом независимости перемещений, обсуждавшимся в § 5. Вернемся к примеру с

переправой на пароме через фиорд, когда паром движется поступательно относительно берегов. Обозначим вектор перемещения пассажира относительно берегов (т. е. в системе отсчета, связанной с землей) через а его перемещение относительно парома (т. е. в системе отсчета, связанной с паромом) — через Перемещение самого парома относительно земли за то же время обозначим через Тогда

Разделив это равенство почленно на время в течение которого эти перемещения произошли, и перейдя к пределу при получим аналогичное (1) соотношение для скоростей:

где — скорость пассажира относительно земли, V — скорость парома относительно земли, скорость пассажира относительно парома. Выражаемое равенством (2) правило сложения скоростей при одновременном участии тела в двух движениях можно трактовать как закон преобразования скорости тела при переходе от одной системы отчета к другой. В самом деле, и — это скорости пассажира в двух разных системах отсчета, скорость одной из этих систем (парома) относительно другой (земли).

Таким образом, скорость тела в какой-либо системе отсчета равна векторной сумме скорости этого тела в другой системе отсчета и скорости V этой второй системы отсчета относительно первой. Отметим, что выражаемый формулой (2) закон преобразования скоростей справедлив только для сравнительно медленных (нерелятивистских) движений, так как его вывод опирался на представление об абсолютном характере промежутков времени (значение считалось одинаковым в двух системах отсчета).

Относительная скорость и ускорение. Из формулы (2) следует, что относительная скорость двух частиц одинакова во всех системах отсчета. В самом деле, при переходе к новой системе отсчета к скорости каждой из частиц прибавляется один и тот же вектор V скорости системы отсчета. Поэтому разность векторов скоростей частиц при этом не изменяется. Относительная скорость частиц абсолютна!

Ускорение частицы в общем случае зависит от системы отсчета, в которой рассматривается ее движение. Однако ускорение в двух системах отсчета одинаково, когда одна из них движется равномерно и прямолинейно относительно другой. Это сразу следует из формулы (2) при

При изучении конкретных движений или решении задач можно использовать любую систему отсчета. Разумный выбор системы отсчета может существенно облегчить получение необходимого

результата. В рассмотренных до сих пор примерах исследования движений этот вопрос не заострялся — выбор системы отсчета как бы навязывался самим условием задачи. Однако во всех случаях, даже когда выбор системы отсчета на первый взгляд очевиден, полезно задуматься о том, какая система отсчета действительно окажется оптимальной. Проиллюстрируем это на следующих задачах.

Задачи

1. Вниз и вверх по течению. Моторная лодка плывет вниз по течению с постоянной скоростью. В некотором месте с лодки в воду падает запасное весло. Через время мин потеря обнаруживается и лодка поворачивает обратно. Какова скорость течения реки, если весло было подобрано на расстоянии км ниже по течению от места потери?

Решение. Выберем систему отсчета, связанную с движущейся водой. В этой системе отсчета вода неподвижна и весло все время лежит в том месте, куда оно упало. Лодка сначала удаляется от этого места в течение времени затем поворачивает обратно. Обратный путь к веслу займет такое же время так как скорость лодки относительно воды не зависит от направления движения. За все это время течение сносит весло на расстояние относительно берегов. Поэтому скорость течения мин

Чтобы убедиться в том, насколько удачный выбор системы отсчета облегчает здесь получение ответа на поставленный вопрос, решите эту задачу в системе отсчета, связанной с землей.

Обратим внимание на то, что приведенное решение не претерпевает изменений, если лодка плывет по широкой реке не вниз по течению, а под некоторым углом к нему: в системе отсчета, связанной с движущейся водой, все происходит, как в озере, где вода неподвижна. Легко сообразить, что на обратном пути нос лодки следует направить прямо на плывущее весло, а не на то место, где его уронили в воду.

Рис. 58. Движение автомобилей по пересекающимся дорогам

2. Перекресток дорог. Две автомобильные дороги пересекаются под прямым углом (рис. 58). Движущийся по одной из них со скоростью автомобиль А находится на расстоянии от перекрестка в тот момент, когда его пересекает автомобиль В, движущийся со скоростью по другой дороге. В какой момент времени расстояние между автомобилями по прямой будет минимальным? Чему оно равно? Где в этот момент находятся автомобили?

Решение. В этой задаче удобно связать систему отсчета с одним из автомобилей, например со вторым. В такой системе отсчета второй автомобиль неподвижен а скорость первого равна его скорости относительно второго, т. е. разности (рис. 59):

Движение первого автомобиля относительно второго происходит по прямой направленной вдоль вектора V,. Поэтому искомое кратчайшее расстояние между автомобилями равно длине перпендикуляра опущенного из точки В на прямую Рассматривая подобные треугольники на рис. 59, имеем

Время сближения автомобилей до этого расстояния можно найти, разделив длину катета на скорость первого автомобиля относительно второго:

Рис. 59. Скорости в системе отсчета, связанной с одним из автомобилей

Положения автомобилей в этот момент времени можно найти, сообразив, что в исходной системе отсчета, связанной с землей, второй автомобиль уедет от перекрестка на растояние, равное

Первый автомобиль за это время приблизится к перекрестку на расстояние

3. Встречные поезда. Два поезда одинаковой длины движутся навстречу друг другу по параллельным путям с одинаковой скоростью В момент, когда кабины тепловозов поравнялись друг с другом, один из поездов начинает тормозить и движется дальше с постоянным ускорением. Он останавливается спустя время как раз в тот момент, когда поравнялись хвосты поездов. Найдите длину поезда.

Решение. Свяжем систему отсчета с равномерно движущимся поездом. В этой системе он неподвижен, а встречный поезд в начальный момент имеет скорость Движение второго поезда и в этой системе отсчета будет равнозамедленным. Поэтому средняя скорость движения тормозящего поезда равна Пройденный за время торможения путь (относительно первого поезда) равен общей длине двух поездов, т. е. 21. Поэтому

откуда находим

Обратим внимание на то, что в этой задаче переход в движущуюся систему отсчета использовался для рассмотрения неравномерного движения тела, однако движение самой системы отсчета было равномерным. Следующие задачи

показывают, что иногда бывает удобно переходить в ускоренно движущуюся систему отсчета.

4. «Охотник и обезьянка». При стрельбе по горизонтально движущейся цели опытный охотник прицеливается с некоторым «упреждением», поскольку за время полета дроби цель успевает переместиться на некоторое расстояние. Куда он должен целиться при стрельбе по свободно падающей мишени, если выстрел производится одновременно с началом ее падения?

Решение. Выберем систему отсчета, связанную со свободно падающей мишенью. В этой системе отсчета мишень неподвижна, а дробинки летят равномерно и прямолинейно со скоростью приобретаемой в момент выстрела. Так происходит потому, что свободное падение всех тел в системе отсчета, связанной с землей, происходит с одинаковым ускорением

В системе отсчета, свободно падающей с ускорением где мишень неподвижна, а дробинки летят прямолинейно, становится очевидным, что целиться нужно точно в мишень. Этот факт не зависит от значения начальной скорости дробинок — она может быть любой. Но при слишком малой начальной скорости дробинки могут просто не успеть долететь до мишени, пока она находится в свободном падении. Если мишень падает с высоты , а начальное расстояние до нее по прямой равно то, как легко убедиться, должно быть выполнено неравенство

откуда и получается ограничение на начальную скорость дробинок:

При меньшей начальной скорости дробинки упадут на землю раньше мишени.

5. Граница достижимых целей. В предыдущем параграфе была найдена граница простреливаемой области при заданном значении начальной скорости Все рассуждения проводились в системе отсчета, связанной с Землей. Найдите эту границу, рассматривая движение в свободно падающей системе отсчета.

Решение. Предположим, что частицы вылетают из начальной точки одновременно по всем направлениям с одинаковым значением начальной скорости Если бы земное притяжение отсутствовало, частицы двигались бы равномерно и прямолинейно и в любой момент времени находились бы на сфере радиуса с центром в начальной точке. Такое «выключение» силы тяжести эквивалентно переходу в свободно падающую систему отсчета. В системе отсчета, связанной с землей, вся эта расширяющаяся с течением времени сфера еще и падает с ускорением свободного падения и ордината ее центра в момент равна

Для нахождения границы «простреливаемой» области достаточно рассмотреть сечение этой сферы вертикальной плоскостью проходящей через начальную точку. Это сечение представляет собой окружность радиуса которая «падает» с ускорением свободного падения Ее уравнение имеет вид

На самом деле это уравнение целого семейства окружностей: придавая разные значения, получаем окружности, на которых находятся частицы в различные моменты времени. Искомая граница — это огибающая такого семейства окружностей (рис. 60). Очевидно, что высшая ее точка лежит над точкой вылета частиц.

Будем искать границу следующим образом. Заметим, что вылетевшие в один и тот же момент времени частицы достигают границы в разные моменты времени: граница касается разных окружностей.

Рис. 60. Граница достижимых целей как огибающая семейства окружностей

Проведя горизонтальную прямую на некотором уровне у, найдем на ней наиболее удаленную от оси ординат точку, которой еще достигают частицы, не задумываясь о том, какой окружности эта точка принадлежит. Абсцисса х этой точки, очевидно, удовлетворяет уравнению (3) семейства окружностей. Переписав его в виде

убеждаемся, что правая часть представляет собой квадратный трехчлен относительно

Его максимальное значение при фиксированном значении у есть

Выражая отсюда у как функцию х, получаем уравнение границы простреливаемой области:

совпадающее с найденным ранее. Подчеркнем, что здесь граница получена как огибающая семейства окружностей, на которых находились частицы, вылетевшие в один и тот же момент времени. Так как траектория каждой

отдельной частицы представляет собой параболу в системе отсчета, связанной с Землей, то эта граница одновременно является огибающей таких парабол.

• Какие из кинематических величин изменяются при переходе от одной системы отсчета к другой, а какие остаются неизменными?

• Объясните, почему относительная скорость двух частиц одинакова во всех системах отсчета.

• Приведите аргументы, свидетельствующие о том, что классический закон преобразования скорости при переходе от одной системы отсчета к другой опирается на представление об абсолютном характере времени.

• Каким должно быть относительное движение двух систем отсчета, чтобы при переходе от одной из них к другой ускорение частицы изменялось?

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление