Главная > Физика > Физика для углубленного изучения 1. Механика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 19. Применение законов динамики

Законы динамики дают возможность находить действующую на тело силу, когда известно, как оно движется под действием этой силы. В самом деле, когда известна зависимость можно найти ускорение а и с помощью второго закона Ньютона рассчитать действующую силу

Справедливо и обратное: когда известна действующая на тело сила можно найти сообщаемое этой силой ускорение и с помощью формул кинематики рассчитать его движение. Для этого, разумеется, нужно знать положение и скорость тела в начальный момент времени.

Движение со связями. В динамике встречаются и такие задачи, где задана только часть сил, действующих на рассматриваемое тело. Такая ситуация возникает, когда движение происходит по заданной траектории при наложенных связях. Примерами механических систем, совершающих такие движения, могут служить грузик на нерастяжимой нити в поле тяжести, грузы, соединенные перекинутой через блок нитью, брусок на наклонной плоскости и т. п.

Наличие связи приводит к тому, что движение грузика на нити ограничено сферической поверхностью с центром в точке подвеса; движение соединенных нитью грузов происходит так, что расстояние между ними, измеренное вдоль натянутой нити, все время остается неизменным, движение бруска на наклонной плоскости — вдоль ее поверхности и т. д. При изучении таких систем возникает задача не только расчета их движения, но и определения сил реакции связей. В уравнениях, выражающих второй закон Ньютона, число неизвестных возрастает, так как помимо ускорений подлежат определению и некоторые из действующих сил. Но и в этом случае удается найти все неизвестные, так как к уравнениям второго закона динамики добавляются условия, выражающие влияние наложенных связей.

Рассмотрим применение законов динамики на примере конкретных задач. Для всех разбираемых примеров систему отсчета, связанную с Землей, можно с достаточной степенью точности считать неподвижной.

Задачи

1. В свободном полете. Брошенное под углом к горизонту тело массы кг движется по параболической траектории с постоянным ускорением направленным вертикально вниз. Какая сила приводит к такому движению?

Решение. В соответствии со вторым законом Ньютона . В данном случае Поэтому сообщающая такое движение сила Это сила тяжести, обусловленная гравитационным взаимодействием тела с Землей. На основании третьего закона Ньютона можно утверждать, что равная

по модулю и противоположно направленная сила реакции действует со стороны тела на земной шар. Но из-за огромной массы Земли эта сила, модуль которой равен , практически не сообщает Земле никакого ускорения.

Подчеркнем, что действующая на тело сила тяжести не зависит от того, по какой именно параболической траектории оно движется.

2. Вес тела в лифте. Ящик массой стоит на полу лифта, который движется с ускорением а, направленным вертикально вверх. С какой силой давит ящик на пол лифта?

Решение. На ящик действуют две силы: сила тяжести направленная вертикально вниз, и сила реакции пола, направленная вертикально вверх. В неподвижном или равномерно движущемся лифте, когда векторная сумма этих сил равна нулю: откуда По своей физической природе сила реакции пола — это сила упругости, связанная с его деформацией.

Сила Р, с которой ящик давит на пол, называется его весом. На основании третьего закона Ньютона она равна по модулю и противоположно направлена силе реакции пола: Отсюда получаем, что . В неподвижном или равномерно движущемся лифте вес тела Р равен действующей на него силе тяжести Однако по своей физической природе эти силы различны, так как вес Р, как и — это сила упругости, в то время как сила тяжести обусловлена гравитационным взаимодействием.

В случае, когда лифт и стоящий на его полу ящик движутся с ускорением а, уравнение второго закона Ньютона записывается в виде

Отсюда для получаем

Поскольку ускорение а направлено вверх, а вниз, проекция векторного уравнения (2) на ось, направленную вертикально вверх, дает

Сила Р, с которой ящик давит на пол, т. е. вес ящика, по-прежнему связана с третьим законом Ньютона: откуда для модуля Р имеем

Мы видим, что в лифте, ускорение которого направлено вертикально вверх, вес тела больше своего обычного значения, равного Это и есть так называемая перегрузка, которую испытывают космонавты при старте космического корабля, когда ускорение а в 6—10 раз превосходит значение

Обратим внимание, что полученный результат (4) не зависит от направления движения, т. е. направления скорости. Перегрузка наблюдается как при разгоне лифта или космического корабля вверх, так и при торможении опускающегося вниз лифта или космического корабля при срабатывании двигателей мягкой посадки.

3. Невесомость. Ящик массы стоит на полу лифта, который движется с ускорением а, направленным вертикально вниз, причем . С какой силой давит ящик на пол лифта?

Решение. Уравнение (1) второго закона Ньютона не зависит от направления вектора ускорения а. Поэтому остается в силе и выражение (2) для силы реакции пола. В проекции на ось, направленную вертикально вверх, оно теперь имеет вид

что уже не совпадает с (3), поскольку вектор а направлен в другую сторону. Соответствующим образом изменяется и выражение (4) для веса тела:

В лифте, ускорение которого направлено вниз, вес тела меньше его обычного значения. И опять этот результат не зависит от направления скорости: вес уменьшается как при разгоне опускающегося вниз лифта, так и при замедлении и остановке поднимающегося вверх лифта.

Если в формуле (6) положить то вес обращается в нуль: в свободно падающем лифте падающий вместе с ним ящик уже не давит на пол. Это и есть так называемое состояние невесомости. В состоянии невесомости оказывается любое тело, движущееся с ускорением независимо от направления его скорости. Это видно непосредственно из формулы (2). Например, в невесомости находится подпрыгнувший человек, начиная с момента отрыва от земли и до момента касания земной поверхности. В течение длительного времени состояние невесомости реализуется в кабине космического корабля, совершающего орбитальный полет с выключенными двигателями, так как корабль все время находится в свободном падении.

А что будет, если лифт опускается с ускорением Чтобы осуществить это, нужно тянуть его вниз дополнительно к действующей на него силе тяжести. Из формулы (5) в этом случае получается для силы реакции отрицательное значение: чтобы ящик двигался вместе с лифтом с ускорением сила реакции должна быть направлена вниз. Такое возможно, только если ящик прикреплен к полу. В противном случае он будет падать с ускорением отставая от уходящего из-под него пола, и в конце концов окажется на потолке лифта. На потолок он будет давить с направленной вверх силой, выражение для которой дается той же формулой (2).

4. Выпуклый мост. Автомобиль массы движется с постоянной скоростью по выпуклому мосту, представляющему собой дугу окружности радиуса (рис. 70). С какой силой автомобиль давит на мост в его верхней точке?

Решение. В верхней точке моста действующие на автомобиль сила тяжести и сила реакции моста направлены в противоположные стороны. Так как автомобиль равномерно движется по дуге окружности, то его ускорение а направлено к центру О и равно по модулю . В результате уравнение второго закона Ньютона

в верхней точке моста в проекции на направленную вниз ось принимает вид

Отсюда находим силу реакции моста

которая вследствие третьего закона Ньютона равна по модулю силе давления автомобиля на мост. Видно, что эта сила меньше нормального веса неподвижного или движущегося по горизонтальной дороге автомобиля.

Рис. 70. К задаче 4

При достаточно большой скорости, когда сила давления на мост обращается в нуль: автомобиль, как и находящиеся в нем пассажиры, оказывается в состоянии невесомости. При автомобиль отрывается от поверхности горбатого моста и некоторое время находится в свободном полете. Аналогичную картину можно часто наблюдать в соревнованиях по мотокроссу.

5. Машина Атвуда. Через неподвижный блок перекинута нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами и (рис. 71 а).

Такое устройство используют для изучения законов динамики на опыте. Найдите силу натяжения нити и ускорения грузов.

Решение. Рассмотрим силы, действующие на каждый из грузов. Очевидно, что кроме сил тяжести направленных вертикально вниз, на грузы со стороны нити действуют силы натяжения направленные вертикально вверх. В инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, уравнения второго закона Ньютона для каждого из грузов записываются в виде

Рис. 71. К задаче 5

Эти уравнения справедливы без каких-либо упрощающих предположений о соотношениях между массами грузов, нити, блока, о наличии трения в блоке и т. д. Однако из них невозможно определить все неизвестные величины, так как число неизвестных больше числа уравнений.

Обычные идеализации, используемые при решении подобных задач, заключаются в пренебрежении массами нити и блока, трением в оси блока и

растяжимостью нити. На этих идеализациях основана простейшая физическая модель рассматриваемой системы.

К чему приводят эти идеализации? Из нерастяжимости нити, т. е. неизменности ее длины, следует очевидное соотношение между проекциями ускорений грузов на вертикальную ось:

Одинаковый модуль этих ускорений обозначим через а.

Действующая на каждый из грузов со стороны нити сила натяжения вследствие третьего закона Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой груз натягивает нить. Из предположения о нулевой массе нити следует, что натяжение ее левого и правого участков одинаковы во всех точках, хотя могут и различаться между собой. В этом можно убедиться, если мысленно выделить малый участок нити массы (рис. 71б) и применить к нему второй закон Ньютона:

Если то из (8) следует Это означает, что модуль силы натяжения одинаков во всех точках нити слева и справа от блока.

Если теперь считать, что масса блока равна нулю и трение в его оси отсутствует, то силы натяжения нити будут одинаковы по обе стороны от блока. Предположение об отсутствии трения не требует особых комментариев. Если допустить, что при этом силы натяжения действующие на блок слева и справа, не равны друг другу, то при нулевой массе блок должен был бы раскручиваться с бесконечно большим угловым ускорением. Обозначим равные друг другу модули сил одной буквой Т.

Таким образом, в рамках рассмотренной простейшей модели система уравнений (7) становится замкнутой и позволяет найти неизвестные величины а и Т. Полагая для определенности перепишем уравнения (7) в проекциях на направленную вниз ось:

Исключая из этих уравнений а, находим

Исключая из уравнений (9) Т, получаем

Для предельного случая формула дает т. е. грузы либо покоятся, либо движутся равномерно. При этом, как видно из (10), сила натяжения нити равна силе тяжести, действующей на каждый из грузов:

Если то (11) дает формально что означает, что ускорение левого груза (массы в действительности направлено вверх.

Полученные результаты позволяют судить о направлениях только ускорений грузов, но не их скоростей.

6. Система блоков. Найдите силу натяжения нити и ускорения грузов в системе, показанной на рис. 72. Считать, что массы грузов много больше масс блоков и нити и трение отсутствует.

Решение. Сформулированные в условии идеализации приводят к простейшей модели, в которой сила натяжения перекинутой через блоки нити одинакова по всей длине. Составим уравнения второго закона Ньютона для каждого из грузов. Силы, действующие на грузы, показаны на рисунке. Тогда

Связь между ускорениями грузов в этой системе не столь очевидна, как в предыдущей задаче. Поэтому, не предрешая заранее направления ускорений грузов, обозначим через их проекции на ось х, направленную вертикально вниз. Спроецируем уравнения (12) на эту ось:

Обозначим модуль силы натяжения перекинутой через блоки нити через Т. Тогда вследствие третьего закона Ньютона на груз со стороны нити действует сила а так как масса левого блока равна нулю, то Теперь уравнения (13) перепишутся в виде

Рис. 72. К задаче 6

Система двух уравнений (14) содержит три неизвестных: проекции ускорений грузов на выбранную ось и силу натяжения нити Т. Чтобы установить связь между проекциями ускорений, накладываемую условием нерастяжимости нити, рассмотрим мысленно возможные перемещения грузов. Пусть, например, левый груз опустился на расстояние Тогда, как легко видеть из рис. 72, правый груз поднимается на вдвое большее расстояние, т. е. он сдвинется на Поскольку эти перемещения происходят за одно и то же время то таким же соотношением будут связаны и проекции скоростей, и проекции ускорений грузов в один и тот же момент времени:

Учитывая эту связь ускорений, можно из системы уравнений (14) найти проекции ускорений грузов и силы натяжения нити:

Если то ускорение левого груза направлено вниз. Для нахождения направления движения нужно знать также начальную скорость. А для определения положения грузов в любой момент времени потребуется еще и знание их начального положения.

Задачи для самостоятельного решения

(см. скан)

• Придумайте примеры задач, в которых законы динамики использовались бы как для нахождения ускорения, так и некоторых из действующих сил.

• Какова физическая природа сил реакции, фигурировавших в задачах 1 и 2?

• Опишите, какие ощущения человек должен испытать при перегрузке и в состоянии невесомости. Как должны отличаться ощущения космонавта при невесомости, испытываемой им в орбитальном полете и при тренировках в бассейне, где невесомость имитируется действием архимедовой выталкивающей силы?

• Шайба соскальзывает без трения с вершины ледяного полусферического купола. Будет ли она скользить по поверхности купола до самого его основания или оторвется от поверхности раньше?

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление