Главная > Физика > Физика для углубленного изучения 1. Механика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 24. Силы упругости и деформации

По своей физической природе силы упругости ближе к силам трения, чем к гравитационным силам, поскольку они в конечном счете обусловлены взаимодействием заряженных частиц, из которых построены все тела. Однако в отличие от сил трения скольжения, возникающих при относительном движении тел, силы упругости определяются только взаимным расположением взаимодействующих тел и возникают только при их деформации.

Виды деформаций. Для твердых тел различают два предельных случая деформации: упругие и пластические. Если после прекращения внешнего воздействия деформированное тело восстанавливает свою форму и размеры, то деформация называется упругой. Для упругой деформации характерно существование однозначной связи между величиной деформации и вызывающей ее силой. Именно это свойство было положено в основу введенного способа измерения сил с помощью динамометра.

Деформации, не исчезающие после прекращения действия сил, называются пластическими.

Закон Гука. Опыт показывает, что почти у всех твердых тел при малых упругих деформациях величина деформации пропорциональна вызывающей ее силе. Это утверждение носит название закона Гука. При больших деформациях связь между деформациями и силами перестает быть линейной, а затем и вообще становится неоднозначной, т. е. деформация зависит от предыстории. Деформация становится пластической. При этом тело остается деформированным хотя бы частично и после прекращения действия внешних сил.

Таким образом, будет ли деформация упругой или пластической, зависит не только от материала тела, но и от того, насколько велики приложенные силы. Упругие деформации используются всюду, начиная от различного типа амортизационных устройств (рессор, пружин и т. д.) и кончая тончайшими измерительными приборами. На пластической деформации основаны различные способы холодной обработки металлов (штамповка, ковка, прокатка и т. д.).

Остановимся подробнее на законе Гука, описывающем малые упругие деформации в рамках феноменологического подхода. Этот закон справедлив для различных видов упругой деформации: растяжения (сжатия), сдвига, кручения, изгиба.

Деформация растяжения (сжатия) стержня характеризуется абсолютным удлинением , где — длина стержня в недеформированном состоянии, и относительным удлинением Опыт показывает, что удлинение стержня пропорционально вызывающей его силе

Коэффициент пропорциональности к в этой формуле называют жесткостью стержня. Он зависит как от упругих свойств материала, так и от размеров деформируемого стержня.

Модуль Юнга. Для любых упругих деформаций можно ввести постоянные, характеризующие упругие свойства только материала, не зависящие от размеров тела. Для изотропного тела существуют две независимые характеристики упругих свойств — модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Введем их на примере деформации растяжения.

Рассмотрим однородную деформацию, возникающую в стержне с одинаковым по всей длине поперечным сечением под действием приложенной к его концу силы Удлинение как показывает опыт, пропорционально его первоначальной длине Поэтому относительное удлинение уже не зависит от длины стержня. Но эта величина еще зависит от поперечного сечения стержня. Опыт показывает, что удлинение под действием заданной силы обратно пропорционально площади поперечного сечения стержня. Поэтому если вместо силы ввести механическое напряжение то при заданном напряжении относительное удлинение уже не зависит от поперечного сечения, т. е. определяется только упругими свойствами материала:

Величина Е называется модулем Юнга материала. Из формулы (2) видно, что модуль Юнга равен тому механическому напряжению, при котором относительное удлинение равно единице, если, конечно, считать, что при таких напряжениях деформация остается упругой. В рамках используемого феноменологического подхода значение модуля Юнга определяется на опыте. Например, для стали Такое напряжение превышает не только предел упругости, когда деформация перестает быть упругой, но и предел прочности, когда происходит разрушение деформируемого тела.

Задача

Жесткость стержня. Выразите жесткость к упругого стержня через его размеры и модуль Юнга материала.

Решение. Для получения ответа достаточно сопоставить формулу (1), определяющую жесткость стержня к, и формулу (2), выражающую относительное удлинение стержня через механическое напряжение и модуль Юнга Е. В результате получим

Жесткость стержня пропорциональна площади поперечного сечения, не зависит от формы этого сечения и обратно пропорциональна длине стержня.

Коэффициент Пуассона. Опыт показывает, что при растяжении стержня уменьшаются его поперечные размеры. Это уменьшение можно характеризовать относительным поперечным сжатием , где — поперечный линейный размер стержня (диаметр, толщина и т. п.). Отношение относительного поперечного сжатия стержня к его относительному удлинению при упругой деформации не зависит как от приложенного напряжения, так и от размеров стержня. Оно называется коэффициентом Пуассона. Для многих веществ значение этой безразмерной величины близко к 0,3.

Всестороннее сжатие. При всестороннем (гидростатическом) сжатии тела относительное уменьшение его объема пропорционально вызывающему это сжатие изотропному давлению

где не зависящий от размеров и формы тела коэффициент к называется модулем всестороннего сжатия. Он связан с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона для данного материала соотношением

Задача для самостоятельного решения

Докажите формулу (4), рассматривая малое всестороннее сжатие кубика как суперпозицию одинаковых деформаций одностороннего сжатия по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рис. 101. Изгиб балки, лежащей на двух опорах

Неоднородная деформация. Аналогично деформации растяжения могут быть рассмотрены и малые упругие деформации других видов. Например, при деформации изгиба балки, лежащей на двух опорах, ее прогиб пропорционален приложенной силе (рис. 101). Коэффициент пропорциональности выражается через модуль Юнга материала балки, поскольку при изгибе нижняя сторона балки испытывает деформацию растяжения, а верхняя — сжатия. Эта деформация неоднородная, так как разные части балки деформированы в разной степени. Элементы, расположенные вдоль штриховой линии (рис. 101), практически совсем не

деформированы. Благодаря этому обстоятельству коэффициент пропорциональности между прогибом и силой зависит не только от размеров балки, но и от формы ее поперечного сечения. Жесткость двутавровой балки на изгиб оказывается почти такой же, как и у бруска таких же габаритов, хотя масса ее значительно меньше. Такой же принцип использован природой при выборе трубчатого строения костей позвоночных.

Проявления упругих сил. Силы упругости фигурировали в роли сил реакции опоры во всех рассмотренных выше примерах движения при наличии связей. При этом всегда использовалась идеализированная модель упругих тел, в которой жесткость считалась очень большой (строго говоря, бесконечно большой): несмотря на наличие упругих сил реакции, деформация тел считалась настолько малой, что ею можно было пренебречь.

Силы упругости играют важную роль в вопросах механического равновесия, когда в реальных условиях модель недеформируемого твердого тела оказывается недостаточной. Замечательная особенность упругих сил заключается также в том, что они служат наиболее распространенной причиной возникновения механических колебаний. Дело в том, что при упругой деформации возникающие силы всегда стремятся вернуть тело в положение равновесия. Если тело выведено из равновесия и предоставлено самому себе, под действием упругих сил возникает его движение к положению равновесия. Благодаря инерции тело проскакивает это положение, возникает деформация противоположного знака, и весь процесс повторяется.

• Объясните, почему жесткость двутавровой балки на изгиб почти такая же, как у бруска тех же габаритов из такого же материала.

• Какой вид деформации имеет место в материале проволоки, из которой навита пружина школьного динамометра?

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление