Главная > Физика > Физика для углубленного изучения 1. Механика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 45. Энергетические превращения при вынужденных колебаниях. Установление колебаний

Установившиеся вынужденные клебания под действием синусоидальной силы внешне очень похожи на собственные незатухающие колебания: они происходят по синусоидальному закону с неизменной амплитудой. Но, несмотря на внешнее сходство, это принципиально разные колебания. При свободных колебаниях энергия колебаний, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий, постоянна, а средние значения кинетической и потенциальной энергий равны между собой. А как обстоит дело в случае синусоидальных вынужденных колебаний?

Энергия установившихся колебаний. Запишем выражение для энергии колебаний:

Входящая в это выражение частота определяется внешним воздействием и не зависит от характеризующих осциллятор величин кит. Поэтому в отличие от случая свободных колебаний, где и множители перед в формуле (13) § 41 оказались одинаковыми, в формуле (1) это не так. Таким образом, полная энергия при установившихся вынужденных колебаниях непостоянна.

Рис. 185. Зависимость от времени кинетической, потенциальной и полной энергий осциллятора для установившихся вынужденных колебаний (при

На рис. 185 показана зависимость от времени кинетической, потенциальной и полной энергий осциллятора при установившихся вынужденных колебаниях в случае Все время идет переход энергии от источника внешнего воздействия в рассматриваемую систему и обратно. Полная энергия постоянна только при т. е. при резонансе.

Средние значения кинетической и потенциальной энергий при вынужденных колебаниях могут сильно отличаться друг от друга. При низких частотах, когда среднее значение кинетической энергии меньше среднего значения потенциальной; при — наоборот. Действительно

при вынужденных колебаниях с очень низкими частотами почти вся энергия осциллятора — это энергия деформированной пружины, а кинетическая энергия ничтожно мала. При высоких частотах, напротив, скорость может достигать огромных значений даже при ничтожных смещениях, когда потенциальная энергия пренебрежимо мала.

Энергетические превращения. Рассмотрим подробнее энергетические превращения при установившихся вынужденных колебаниях. Если частота внешней силы много меньше частоты собственных колебаний системы, то, как уже отмечалось, почти вся энергия колебаний представляет собой потенциальную энергию. Поэтому, когда осциллятор удаляется от положения равновесия, энергия системы возрастает, т. е. внешняя сила совершает положительную работу. На протяжении этой четверти периода энергия поступает в систему от внешнего источника. На протяжении следующей четверти периода, когда осциллятор возвращается в положение равновесия и потенциальная энергия убывает, система отдает энергию внешнему источнику. Затем все повторяется.

Если частота внешней силы много больше частоты собственных колебаний, то, как мы видели, энергия осциллятора — это в основном кинетическая энергия. Поэтому система получает энергию от внешнего источника в те четверти периода, когда осциллятор движется к положению равновесия и его скорость возрастает. При удалении от положения равновесия система отдает энергию внешнему источнику.

Ясно, что при установившихся колебаниях получаемая системой от внешнего источника за период энергия превосходит отдаваемую, так как в системе действует сила трения, работа которой определяет диссипацию механической энергии — переход части энергии колебаний в теплоту.

При резонансе, когда частота внешней силы совпадает с частотой свободных колебаний, полная энергия системы постоянна, как и в случае свободных колебаний. Дважды за период кинетическая и потенциальная энергии целиком переходят друг в друга. Другими словами, при резонансе система совершает «почти собственные» колебания. Роль внешней силы сводится только к компенсации действующей в системе силы трения.

Поглощаемая мощность. Запишем выражение для развиваемой внешней силой мощности при установившихся колебаниях:

При заданной внешней силе эта мощность пропорциональна первой степени скорости осциллятора, а тем самым и первой степени амплитуды вынужденных колебаний.

Скорость диссипации механической энергии в системе определяется мощностью, развиваемой силой трения:

Видно, что эта мощность пропорциональна квадрату скорости осциллятора, т. е. пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Устойчивость вынужденных колебаний. Линейная зависимость мощности внешней силы и квадратичная зависимость мощности силы трения от амплитуды колебаний позволяют объяснить устойчивость режима вынужденных колебаний. Изобразим эту зависимость графически. На рис. 186 прямая линия характеризует получаемую системой энергию, а парабола — диссипируемую энергию, определяемую мощностью силы трения. Поскольку в установившемся режиме эти энергии равны, то точка пересечения прямой и параболы соответствует амплитуде установившихся колебаний. Представим себе, что в силу каких-то случайных причин амплитуда колебаний немного изменилась, например уменьшилась при неизменной фазе. Тогда, как видно из рис. 186, мощность внешней силы будет больше диссипируемой мощности. Это приводит к росту энергии системы и восстановлению прежнего значения амплитуды колебаний.

Аналогично можно убедиться в том, что амплитуда вынужденных колебаний устойчива и по отношению к случайным отклонениям в сторону возрастания.

• Чем отличаются вынужденные гармонические колебания от собственных с точки зрения происходящих энергетических превращений?

• В чем особенность энергетических превращений при резонансе?

• Что будет, если в режиме установившихся вынужденных колебаний произойдет случайное увеличение или уменьшение их амплитуды?

Рис. 186. К исследованию устойчивости режима вынужденных колебаний

Переходные процессы. До сих пор мы рассматривали установившийся режим вынужденных колебаний. А как происходит установление колебаний? Начнем со случая резонансной внешней силы. Пусть в начальный момент осциллятор покоится в положении равновесия, т. е. начальные условия имеют вид

В этот момент на него начинает действовать внешняя синусоидальная сила с частотой со, равной частоте свободных колебаний осциллятора.

Как мы знаем, движение осциллятора будет описываться уравнением (4) предыдущего параграфа:

Нам известно решение этого уравнения, описывающее установившиеся колебания, которые не зависят от начальных условий. При резонансе колебания отстают от вынуждающей силы на четверть периода, поэтому

Однако это решение не удовлетворяет начальным условиям (4), так как согласно (6) скорость к при не равна нулю.

Как же найти решение уравнения (5), удовлетворяющее нашим начальным условиям? Такое решение обязательно должно переходить в (6) по мере установления колебаний, т. е. при Поэтому попробуем искать решение в виде суммы выражения (6) и функции , описывающей собственные затухающие колебания осциллятора, т. е. являющейся решением уравнения (5) с правой частью, равной нулю, в случае малого затухания Эта сумма

действительно является решением уравнения (5), в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. В самом деле, уравнение (5) содержит функцию и ее производные только в первой степени, поэтому каждое слагаемое в выражении (7) можно подставлять в уравнение (5) по отдельности. Подстановка слагаемого в левую часть (5) дает а подстановка второго слагаемого дает нуль.

Благодаря множителю второе слагаемое в (7) стремится к нулю при , и остается только член описывающий установившиеся вынужденные колебания. Но при малых значениях времени второе слагаемое в (7) играет важную роль: наличие двух произвольных постоянных А и а позволяет удовлетворить любым начальным условиям. Полагая в и учитывая первое из начальных условий (4), получаем

откуда в (7) равен

При нахождении скорости к из (7) учтем, что при малом затухании, когда сомножитель почти не

изменяется на протяжении периода колебаний. Поэтому при дифференцировании его можно считать постоянным:

Полагая здесь и учитывая второе начальное условие (4), получаем

откуда Теперь выражение (7) принимает вид

Время установления колебаний. Первое слагаемое в (9) представляет собой гармоническое колебание постоянной амплитуды и соответствует установившимся вынужденным колебаниям. Второе слагаемое соответствует собственным затухающим колебаниям.

Рис. 187. Процесс установления вынужденных колебаний при резонансе

Поэтому процесс установления колебаний можно представить себе таким образом: в начале процесса в системе одновременно присутствуют и вынужденные, и собственные колебания, причем амплитуда и фаза последних таковы, что результирующее колебание удовлетворяет начальным условиям. Графики этих колебаний показаны на рис. 187.

При малом затухании результирующее колебание в (9) можно рассматривать как синусоидальное колебание с частотой амплитуда которого медленно нарастает со временем

(рис. 187). Характерное время установления амплитуды колебаний совпадает с временем жизни собственных затухающих колебаний в той же системе.

Подведем некоторые итоги. При очень малом затухании амплитуда в резонансе будет очень большой, но ее установление длится очень долго. Чем более резко выражен резонанс, тем медленнее происходит установление.

Рис. 188. Установление вынужденных колебаний при

Это легко понять и с помощью энергетических соображений: чем острее резонанс, тем больше запасаемая системой энергия и, следовательно, тем больше времени требуется для того, чтобы сообщить системе эту энергию.

Если частота вынуждающей силы со не совпадает с частотой свободных колебаний то процесс установления колебаний также можно представить как наложение вынужденных колебаний с частотой и затухающих собственных колебаний с частотой Картина установления колебаний при показана на рис. 188.

Несинусоидальное периодическое воздействие. Вынужденные колебания осциллятора возможны при любом периодическом внешнем воздействии, а не только синусоидальном. При этом установившиеся колебания, вообще говоря, не будут синусоидальными, но они будут представлять собой периодическое движение с периодом, равным периоду внешнего воздействия. Внешнее воздействие может представлять собой, например, последовательность периодически повторяющихся толчков (рис. 189). Если период внешних толчков совпадает с периодом

собственных колебаний, то в системе наступает резонанс. Колебания при этом будут почти синусоидальными. Сообщаемая системе при каждом толчке энергия при резонансе мала по сравнению с запасом энергии системы и равна диссипируемой за период энергии.

На рис. 190 показана фазовая диаграмма вынужденных колебаний осциллятора, происходящих под действием коротких толчков. При каждом толчке осциллятор изменяет свою скорость на одну и ту же величину Период чередования толчков равен периоду собственных колебаний осциллятора, т. е. имеет место резонанс. Движение осциллятора установится таким образом, что толчки будут приходиться на те моменты времени, когда осциллятор проходит положение равновесия.

Рис. 189. Вынужденные колебания осциллятора под действием коротких толчков

Рис. 190. Фазовая диаграмма колебаний под действием коротких толчков

Рис. 191. Вынужденные колебания под действием толчков, период которых вдвое превосходит собственный период осциллятора

Резонанс будет иметь место и в том случае, когда период чередования толчков будет кратен периоду собственных колебаний. Такое невозможно при синусоидальном внешнем воздействии. На рис. 191 показана фазовая диаграмма для случая, когда период толчков вдвое превышает период осциллятора.

Наиболее интересными, хотя и очень сложными для исследования являются системы, в которых колебания возникают не за счет начального толчка и не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у каждой из таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы носят название

автоколебательных. Наиболее известный пример автоколебательной системы — обычный часовой механизм.

• Чем определяется длительность процесса установления вынужденных колебаний при резонансном внешнем воздействии? Ответ поясните с помощью энергетических соображений.

• Как происходит установление вынужденных колебаний при и Проиллюстрируйте ответ примерными графиками.

Как выглядит фазовая диаграмма колебаний осциллятора, возбуждаемых короткими периодическими толчками?

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление