Главная > Физика > Физика для углубленного изучения 1. Механика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 50. Вязкая жидкость. Обтекание тел

В целом раде практически важных случаев поведение обычной жидкости в пределах известной погрешности эксперимента согласуется с результатами, предсказываемыми теорией движения идеальной несжимаемой жидкости. Но есть немало примеров, когда нельзя пренебрегать внутренним трением в жидкости, называемым вязкостью. Большинство интересных явлений при движении жидкости так или иначе связано именно с этим свойством, а в некоторых случаях вязкость жидкости является определяющей.

При изучении идеальной жидкости выдвигалось требование, чтобы нормальная составляющая скорости жидкости на ее границе с твердым телом обращалась в нуль. Касательная составляющая скорости могла иметь произвольное значение. Но оказывается, что во всех случаях, когда это можно проверить экспериментально, скорость жидкости на поверхности твердого тела строго равна нулю, т. е. жидкость как бы прилипает к поверхности, которую она обтекает.

Пограничный слой. Вблизи поверхности твердого тела возникает так называемый пограничный слой жидкости, в котором скорость нарастает от нуля до значения скорости в потоке. Влияние вязкости на движение остальной части жидкости мало. Но если, например, вязкая жидкость движется по достаточно узкой трубе, то пограничный слой может заполнить весь объем текущей жидкости и при изучении этого движения пренебрегать вязкостью нельзя. Такое течение имеет очень мало общего с движением идеальной жидкости.

В статическом случае, т. е. в равновесии, никаких напряжений сдвига в жидкости нет. Однако в движущейся жидкости такие напряжения могут быть. Вязкость как раз и описывает такие силы, возникающие в движущейся жидкости. В отличие от твердых тел, где сдвиговое касательное напряжение определяется деформацией сдвига, в жидкости такое напряжение определяется скоростью деформации. Другими словами, жидкости оказывают вязкое, а не упругое сопротивление при изменении формы.

Рис. 225. Вязкая жидкость между плоскими пластинами

Вязкость. Для того чтобы ввести количественную характеристику вязкости жидкости, рассмотрим следующий опыт. Пусть жидкость находится между двумя твердыми плоскими параллельными пластинами (рис. 225). Нижняя пластина неподвижна, а верхняя движется параллельно нижней с малой скоростью v. Опыт показывает, что для

поддержания равномерного движения верхней пластины необходима сила направленная вдоль пластины и пропорциональная площади пластины скорости и обратно пропорциональная расстоянию между пластинами:

Подчеркнем, что благодаря с «прилипанию» жидкости к поверхности пластины эта сила характеризует внутреннее трение, т. е. трение между проскальзывающими относительно друг друга слоями жидкости, а не между жидкостью и твердым телом.

Величина в (1) описывает вязкие свойства жидкости и называется вязкостью. Вязкость жидкости сильно зависит от ее температуры. Так, например, вязкость воды при повышении ее температуры от 0 до уменьшается почти вдвое.

При наличии вязкости, т. е. сил внутреннего трения, тормозящих движение жидкости, для поддержания стационарного течения в горизонтальной трубе неизменного сечения необходимо поддерживать постоянную разность давлений на концах трубы. Напомним, что в идеальной жидкости при таком движении давление, как это следует из уравнения Бернулли, одинаково вдоль всей трубы.

Ламинарное течение. Течение жидкости в цилиндрической трубе, при котором скорости частиц жидкости всюду направлены вдоль оси трубы, называется ламинарным или слоистым. Такое течение возможно только при не очень большой скорости потока вязкой жидкости в трубах малого поперечного сечения. С увеличением скорости или с увеличением площади сечения трубы характер течения принципиально изменяется. Вместо слоистого течения возникает носящее нерегулярный характер завихрение, или турбулентное, течение.

Изменение характера течения можно наблюдать в эксперименте со стеклянными трубками различного сечения при различных перепадах давления, т. е. при различных скоростях жидкости. Линии тока при стационарном течении можно сделать видимыми, впуская во входное сечение стеклянной трубки окрашенную струйку жидкости. При небольшой скорости потока в узкой трубке подкрашенная струйка движетса ровно и параллельно оси трубки. При постепенном увеличении скорости потока внезапно начинается нерегулярное движение, которое постепенно захватывает всю трубку, — струйка, ровная у входа, разбивается на множество извилистых струек. Такие нерегулярные изменения движения происходят не из-за изменения внешних условий, а вследствие неустойчивости ламинарного течения при больших скоростях.

Турбулентное движение. При стационарном турбулентном движении скорость жидкости в данном месте не остается постоянной, а

совершает хаотические колебания и по модулю, и по направлению. Но средняя скорость в данном месте трубы будет постоянна и направлена вдоль оси трубы.

Рис. 226. Профиль скоростей при ламинарном (а) и турбулентном (б) течении жидкости по трубе

На рис. 226а показано распределение скорости жидкости по селению трубы при ламинарном течении, а на рис. 226б — распределение средней скорости при установившемся турбулентном течении. В турбулентном потоке, как видно из рисунка, можно четко выделить пограничный слой жидкости вблизи стенок трубы, где средняя скорость быстро спадает до нуля, в то время как при ламинарном течении такого четкого пограничного слоя нет, так как скорость изменяется за счет вязкости по всему сечению трубы. Другими словами, в этом случае вся труба находится в пределах пограничного слоя.

Неустойчивость ламинарного течения и возникновение турбулентности — сложные вопросы, до конца не выясненные и в настоящее время.

Обтекание тела потоком. Большое практическое значение имеет вопрос о силах, действующих на твердое тело, движущееся в неподвижной жидкости или газе. Часто оказывается более удобным рассматривать обтекание неподвижного тела набегающим потоком жидкости. Оба подхода эквивалентны в силу механического принципа относительности.

Разложим полную силу действующую на тело со стороны потока, на две составляющие: в направлении потока и перпендикулярную потоку Силу обычно называют лобовым сопротивлением, силу — подъемной силой.

Парадокс Даламбера. При стационарном обтекании твердого тела потоком идеальной жидкости лобовое сопротивление должно вообще отсутствовать. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим обтекание симметричного тела, изображенного на рис. 227. Линии тока симметричны относительно плоскости а скорости частиц жидкости в соответствующих точках перед и за телом равны по модулю и отличаются только по направлению. Давление в этих точках одинаково согласно уравнению Бернулли. Теперь легко сообразить, что составляющие сил давления в точках А и В, направленные

параллельно потоку, компенсируют друг друга. Так как полная сила, действующая на тело со стороны потока, равна сумме сил давления жидкости, действующих на отдельные элементы поверхности твердого тела, то лобовое сопротивление отсутствует.

Рис. 227. Обтекание симметричного тела равномерным потоком воздуха

В рассмотренном на рис. 227 случае в силу симметрии картины обтекания тела равно нулю не только лобовое сопротивление, но и подъемная сила. Можно показать, что этот результат — равенство нулю полной силы, действующей на тело со стороны потока идеальной жидкости, — справедлив для тела произвольной формы, имеющего конечные размеры. В этом состоит так называемый парадокс Даламбера.

Подъемная сила. Иначе обстоит дело при обтекании тела, имеющего бесконечные размеры в направлении, перпендикулярном потоку. Лобовое сопротивление в идеальной жидкости отсутствует и в этом случае, в то время как подъемная сила может быть отлична от нуля. Теория подъемной силы для крыла бесконечного размаха была создана Н. Е. Жуковским, который показал, что для возникновения подъемной силы необходимо существование циркуляции воздуха вокруг обтекаемого тела.

Эффект Магнуса. Чтобы лучше понять причину возникновения подъемной силы, рассмотрим вначале обтекание вращающегося цилиндра равномерным потоком воздуха. Если бы цилиндр не вращался, то из-за малой вязкости воздуха картина обтекания набегающим потоком мало отличалась бы от изображенной на рис. 227.

Рис. 228. Линии тока в вязком воздухе вокруг вращающегося цилиндра

Рис. 229. Обтекание вращающегося цилиндра набегающим потоком

Вязкий воздух «прилипает» к поверхности цилиндра. Поэтому при

вращении цилиндр увлекает прилегающие слои воздуха, вызывая его циркуляцию. Если бы набегающего потока не было, то вследствие вязкости, пренебрегать которой здесь нельзя, картина линий тока воздуха вокруг вращающегося цилиндра имела бы вид, показанный на рис. 228. При этом чем дальше от цилиндра, тем меньше скорость увлекаемого цилиндром воздуха.

При обтекании потоком воздуха вращающегося цилиндра происходит наложение картин, показанных на рис. 227 и 228. В тех местах, где скорости поступательного движения воздуха с потоком и вращения вместе с цилиндром совпадают по направлению, результирующая скорость воздуха превосходит скорость потока, набегающего на цилиндр. Там, где обусловленная вращением скорость воздуха направлена противоположно набегающему потоку, результирующая скорость воздуха меньше скорости потока. Таким образом, получается картина обтекания набегающим воздухом вращающегося цилиндра, изображенная на рис. 229: скорость воздуха снизу цилиндра меньше, а давление, следовательно, больше, чем сверху. Возникает подъемная сила. Это явление называется эффектом Магнуса.

Эффект Магнуса легко наблюдать экспериментально при скатывании с наклонной плоскости легкого цилиндра из плотной бумаги (рис. 230). Направленная перпендикулярно скорости поступательного движения цилиндра подъемная сила приводит к резкому увеличению крутизны траектории — цилиндр, падая, заворачивает под стол. Эффект Магнуса проявляется при полете закрученного футбольного или теннисного мяча при резаных ударах.

Рис. 230. Эффект Магнуса при скатывании легкого цилиндра с наклонной плоскости

Итак, циркуляция воздуха вокруг твердого тела, находящегося в потоке, приводит к появлению подъемной силы. В эффекте Магнуса циркуляция возникает за счет вращения цилиндра. В других случаях циркуляция может возникнуть и без вращения тела. Так, например, циркуляция возникает при обтекании вязкой жидкостью несимметричного тела.

Вязкость и циркуляция. Отметим, что циркуляция не может возникать в идеальной жидкости, где вообще не существует касательных напряжений между различными слоями жидкости. Роль вязкости в образовании циркуляции можно проиллюстрировать следующим эффектным опытом. Пусть в потоке жидкости на дне русла имеется углубление (рис. 231). При отсутствии вязкости

могло бы существовать такое движение, при котором жидкость в углублении была бы неподвижной (рис. 231а). При этом скорость жидкости менялась бы скачком на параллельной дну русла поверхности

Рис. 231. Линии тока в случае прямоугольной выемки в дне русла

Рис. 232. К возникновению циркуляции воздуха вокруг крыла самолета

В реальной жидкости при скольжении придонного слоя над неподвижной водой в яме благодаря вязкости возникает касательная сила, которая приводит верхний слой воды в яме в движение в направлении потока. Но движение воды в яме ограничено стенками, и в результате в ней образуется система вращающихся «сцепленных шестерен» (рис. 2316).

Вязкость воздуха приводит к возникновению циркуляции вокруг крыла самолета. Опыт показывает, что циркуляция вокруг крыла возникает следующим образом. Вблизи острой задней кромки крыла возникают вихри, в которых вращение воздуха происходит против часовой стрелки (рис. 232). Эти вихри увеличиваются, отрываются от крыла и уносятся набегающим потоком воздуха.

Рис. 233. Линии тока при обтекании крыла

При этом остальная масса воздуха вблизи крыла начинает совершать вращательное движение в противоположную сторону, образуя циркуляцию вокруг крыла по часовой стрелке. Циркуляционный поток, складываясь с набегающим, ускоряет движение воздуха над крылом. В результате картина обтекания крыла потоком принимает вид, изображенный на рис. 233; давление воздуха над крылом понижается, под крылом повышается, что и приводит к возникновению подъемной силы.

Лобовое сопротивление. При движении тела в вязкой жидкости или газе на тело наряду с подъемной силой действует сила лобового сопротивления. Можно указать две причины возникновения этой силы. Во-первых, вклад в лобовое сопротивление дают касательные силы внутреннего трения, действующие со стороны потока жидкости на «прилипший» к поверхности тела пограничный слой. Во-вторых, лобовое сопротивление возникает в результате различия в силах давления на переднюю и заднюю части тела вследствие несимметричности картины обтекания вязкой жидкостью даже симметричного тела.

При изучении движения вязкой жидкости и газа, а также движения твердых тел в жидкости и газе вследствие больших математических трудностей при динамическом описании широкое распространение получили метод подобия и метод анализа размерностей. Эффективность метода анализа размерностей проявляетса уже в следующем простом примере, который может быть исследован до конца и в рамках динамического подхода.

Вязкая жидкость в трубе. При ламинарном течении жидкости по трубе круглого сечения профиль скоростей параболический (см. рис. 226а) и обьем жидкости V, протекающей через сечение трубы за время пропорционален времени и зависит от разности давлений на концах трубы, вязкости длины и радиуса трубы. Найдем эту зависимость. Будем искать выражение для объема в виде

Здесь удобно измерять длину вдоль и поперек трубы в разных единицах с размерностями Тогда

и равенство размерностей имеет вид

Приравнивая показатели степеней,

находим и для V получаем

Таким образом, объем жидкости, протекающий через сечение трубы за время пропорционален разности давлений на единицу

длины трубы и обратно пропорционален вязкости, что достаточно очевидно и без приведенного расчета. Однако не столь тривиален вывод о том, что объем жидкости пропорционален четвертой степени радиуса трубы (т. е. квадрату площади ее поперечного сечения). Полученные закономерности справедливы для трубы с постоянным поперечным сечением произвольной формы. В случае круглого сечения динамический расчет дает .

• Почему силы сопротивления при движении тела в жидкости или газе называют внутренним трением?

• Чем отличаются ламинарное и турбулентное движения жидкости или газа? Что такое пограничный слой?

• В каких случаях движение тела в идеальной жидкости не сопровождается лобовым сопротивлением и подъемной силой? Почему так происходит?

• Объясните, как возникает боковая сила при движении закрученного теннисного или футбольного мяча.

• Какую роль играет циркуляция воздуха вокруг крыла самолета в возникновении подъемной силы?

• Поясните, как получить использованную в тексте размерность вязкости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление